数学——抽象与具体相结合

    高度的抽象性是数学学科理论的基本特点之一．数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，所以数学是将客观对象的所有其他特性抛开，而只取其空间形式和数量关系进行系统的、理论的研究。因此，数学具有比其他学科更显著的抽象性，这种抽象性还表现为高度的概括性。

    一般说来，数学的抽象程度越高，其概括性越强。 数学的抽象性还表现为广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、字义、符号三位一体的特性，这是其他学科所无法比拟的。例如，“平行”的词义是表示空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特定位置关系，有专门符号“∥”表示，并可用具体图形表示。当然，数学的抽象性必须以具体素材为基础。任何抽象的数学概念和数学命题，甚至于抽象的数学思想和教学方法，都有具体、生动的现实原型。

    数学的抽象性还有逐级抽象的特点。一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，不仅以具体对象作为基础，也以一些相对具体的抽象概念作为基础．例如，数、式、函数、映射、关系等就是逐级抽象的。前一级抽象是后一级抽象的直观背景材料，尽管前一级本身就是抽象的。这样，所谓的直观背景材料，不仅是指实物、模型、教具等，而且还指所学过的概念、实例等。数学的这种逐级抽象性反映着数学的系统性，数学教学中充分注意这个特点，就能有效地培养学生的抽象概括能力。

     由于受年龄、理解问题的能力、认识问题的规律等特点的影响，学生抽象思维的局限性主要表现在：过分地依赖具体素材；抽象与具体相割裂，不能将抽象理论应用于具体问题之中；对抽象的数学对象之间的关系不易掌握等方面。例如，在引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发；若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；若不以多位数乘除法作为实例，直接引入多项式乘除法的分离系数法，学生会难以理解而步履维艰。又如，学过函数概念后，常常把分段函数的表达式认作两个函数或者认为不是函数。出现这些原因是多方面的，就数学教学本身而言，要求正确处理抽象与具体的关系。

    如何有效地运用抽象与具体相结合的原则进行教学

    在数学教学中，贯彻抽象与具体相结合的原则，可以从以下三个方面入手：

    (1)注意从实例引入，阐明数学概念。通过实物直观(包括直观教具)、图像直观或语言直观形成直观形象，提供感性材料。例如，通过温度的升降、货物的进出等实例，来引进相反意义的量。在数学教学中，引用直观事物说明某个概念是非常有利的，这是因为对具体、生动的事物的感知有利于理解和记忆抽象概念。但是个别事物总有它的特殊性和与概念的不一致性。因此，在使用直观说明概念时，一定要有语言加以指导、概括和说明。

    (2)注意数学逐级抽象的特点，做好有关知识的复习工作。数学的逐级抽象性反映着数学的系统性。如果前面一些概念没有学好，就难以学好依赖于这些概念抽象出来的更高一个层次的概念。从这个意义上来说，要打好基础，一步一个脚印地前进。

    因此，教师在讲授较高层次的数学知识时，必须做好有关知识的复习工作，这样就为新知识的抽象创造了必要的条件。这种方法既符合数学的发展规律，又符合学生认识的发展规律，容易取得好的教学效果。

    (3)要注意培养学生抓住数学实质的能力。学生产生抽象与具体脱节的现象，解决实际问题的能力差，这与他们抓不住数学实质有关。有些学生尽管可以背诵某些概念或定理的条文，但并没有真正理解问题的实质，只是机械地记忆某些结论，从而不能使所学知识灵活运用。 抽象与具体相结合，就是为了使学生对抽象的理论理解得正确、认识得深刻。发展学生的抽象思维，使抽象理论的教学具体化，具体、直观仅仅是手段，而培养抽象思维能力才是根本的目的。因此，如果在教学中不注意培养抽象思维能力，学生就不可能学好数学。反之，如果不依赖于具体、直观，抽象思维也难以培养。只有在教学中不断地实施具体与抽象相结合，具体—抽象一具体，循环往复，才能不断将学习引向纵深，使认识逐步提高和深化。