堆排序（heap sort）

参考博客：http://bubkoo.com/2014/01/14/sort-algorithm/heap-sort/

1.二叉树

二叉树的第 i 层至多有 2^i-1 个结点；深度为 k 的二叉树至多有 2^k - 1 个结点；对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n₀，度为 2 的结点数为 n₂，则n₀ = n₂ + 1。

二叉树又分为完全二叉树（complete binary tree）和满二叉树（full binary tree）

满二叉树：一棵深度为 k，且有 2^k - 1 个节点称之为满二叉树

　　　　深度为 3 的满二叉树 full binary tree

完全二叉树：深度为 k，有 n 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时，称之为完全二叉树

　　深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree

 

 2. 什么是堆？

堆（二叉堆）可以视为一棵完全的二叉树，完全二叉树的一个“优秀”的性质是，除了最底层之外，每一层都是满的，这使得堆可以利用数组来表示（普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示），每一个结点对应数组中的一个元素。

对于给定的某个结点的下标 i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标：

• Parent(i) = floor(i/2)，i 的父节点下标
• Left(i) = 2i，i 的左子节点下标
• Right(i) = 2i + 1，i 的右子节点下标

 

二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。

最大堆：

• 最大堆中的最大元素值出现在根结点（堆顶）
• 堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在）

 

最小堆：

• 最小堆中的最小元素值出现在根结点（堆顶）
• 堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点（如果存在）

 

3. 堆排序原理

堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出，将剩余的堆继续调整为最大堆，再次将堆顶的最大数取出，这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作：

• 最大堆调整（Max-Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
• 创建最大堆（Build-Max-Heap）：将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆
• 堆排序（Heap-Sort）：移除位于第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

 

Max-Heapify:递归调用自身

Build-Max-Heap:调用Max-Heapify

Heap-Sort:接口，调用Build-Max-Heap和Max-Heapify

 

数组都是 Zero-Based，这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变.。。。

相应的，几个计算公式也要作出相应调整：

• Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父节点下标
• Left(i) = 2i + 1，i 的左子节点下标
• Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子节点下标

 最大堆调整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性质，是创建最大堆的核心子程序，由于一次调整后，堆仍然违反堆性质，所以需要递归的测试，使得整个堆都满足堆性质

 创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆，

　　　　因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质

堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆，然后将堆顶和堆底元素交换，之后将底部上升，最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次之后，数组排列完毕。