四.递归
1.定义：方法调用自身。递归算法可以缩小规模，递归方法调用自身，但是参数不一样。递归可以用循环（递推，迭代）或者栈来代替
2.递归三要素：边界条件，递归关系式，参数返回值（递归方法，参数不一样）
3.递归算法的时间复杂度
（1）递归算法的时间复杂度= 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度
递归次数和递归深度有关，递归次数就是递归二叉树的节点个数
（2）很多时候，递归可以抽象成一棵二叉树，时间复杂度和二叉树的节点个数有关（递归的次数就是节点的个数）
满二叉树节点个数：2n-1（n代表层数）第i层有：2i-1个节点
（3）不要一看到递归就想到O(logn)
4.递归算法的空间复杂度
（1）递归算法的空间复杂度 = 递归深度 * 每次递归的空间复杂度
（2）空间复杂度与递归的深度有关：递归深度就是调用栈的深度，就是递归二叉树的深度
5.递归的每个方法（每次递归）都有自己独立的变量。对于所有递归都操作的同一个变量（共享变量），应该放在递归方法外面。（二叉树递归遍历）
6.经典递归案例：（1）求阶乘（2）求x的n次方（3）斐波那契
7.空间复杂度：O(1)，O(n)比较多。在递归的时候，会出现O(logn)的空间复杂度
8.递归方法的归就是迭代方法的迭代
9.递归是用栈实现的
10.递归遍历二叉树是，List<Integer>是共享变量，要放在参数中
1.二分查找
（1）非递归实现
1 public static int binarySerach(int[] arr,int key) { 2 int left=0; 3 int right=arr.length-1; 4 5 while(left<=right) { 6 int mid=(left+right)/2; 7 if(key==arr[mid]) 8 return mid; 9 if(key<arr[mid]) 10 right=mid-1; 11 if(key>arr[mid]) 12 left=mid+1; 13 } 14 return -1; 15 }
（2）递归实现
1 public static int binarySerach(int[] arr,int key,int left,int right) { 2 int mid=(left+right)/2; 3 4 if(left>right) 5 return -1; 6 if(key==arr[mid]) 7 return mid; 8 9 if(key<arr[mid]) 10 return binarySerach(arr, key, left, mid-1); 11 12 if(key>arr[mid]) 13 return binarySerach(arr, key, mid+1, right); 14 return -1; 15 16 }
2.汉诺塔问题
1 public static void move(int dish,String from,String temp,String to) { 2 if(dish==1) 3 System.out.println("将盘子"+dish+"从塔座"+from+"移动到目标塔座"+to); 4 else { 5 move(dish-1, from, to, temp);////A为初始塔座，B为目标塔座，C为中介塔座 6 System.out.println("将盘子"+dish+"从塔座"+from+"移动到目标塔座"+to); 7 move(dish-1, temp, from, to);//B为初始塔座，C为目标塔座，A为中介塔座 8 } 9 }
3.归并排序
4.消除递归
5.递归的有趣应用
（1）求一个数的乘方
（2）背包问题
（3）组合：选择一支队伍
补充：
1.尾递归：只有递，没有归（或者说：只有归，没有递）。和迭代一样
