一、基本概念
带余除法（division algorithm，除法定理）：a∈Z，d∈Z*，有唯一的整数 q 和 r，并且0≤r＜d0，满足 a= d q+r。q 称为商，r 称为余数。通俗说法：整数除以正整数得到唯一的商（quotient）和余数（residue）。
整除（divide exactly）：称 a 整除 b ，当整数 a 除以非零整数 b ，商为整数，且余数为零， 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作 b|a。b 称为 a 的约数（因数，common divisor）。
最大公约数（great common divisor）：两个不同时为零的整数a与b的公约数中最大的称为其最大公约数，记作d=gcd（a，b）。
丟翻图方程：整系数多项式方程的统称。
二、gcd欧几里得算法
GCD递归定理：对任意非负整数a和任意正整数b，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 。证明见附录。
三、裴属定理
裴属定理：对任意整数a，b，关于变量x，y的线性丟翻图方程 ax+by=m（裴属等式），有整数解当且仅当 m 是 d=gcd（a，b）的整数倍。证明见附录。
附录、
GCD递归定理的证明
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) ，先证gcd(a,b)|gcd(b,a mod b)，设d=gcd(a,b)，有d|a且d|b。令
r=（a mod b），则
r=a-qb，q为a/b向下取整。
（a mod b）是 a 与 b 的线性组合，所以 d|（a mod b）。
d|b，d|（a mod b），所以，d|gcd（b，a mod b）。
反过来证gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)，方法相同，不再赘述，
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
裴属定理的证明
在 ax+by=m 中，
1. ab=0，不失一般性，令
b=0，则
ax=m。由
d=gcd（a，0）=a ，得
dx=m，
它有解当且仅当 m 是 d 的整数倍。
2. ab≠0，
设A是a，b的线性组合，即A={xa+yb| x，y∈Z}，
令d0是A中最小正元素，即d0=min{x| x∈A∩Z*}= x0 a+ y0 b，
下面将首先证明 d0= gcd（a，b），进而构造裴属等式一组解，从而证明了命题的
充分性：
设 p 是 A 中任意一个正数，p=x1a+ y1b，
我们可以证明 d0|p：
考虑p对d0的带余除法，
p= d0q+r，0≤r＜d0，则
r = p - d0q
=x1a+y1b-( x0a+y0b )q
=（x1-qx0）a +（y1-qy0）b ∈A，
因为d0是A中最小的正元素，所以r只能等于0，即d0|p。
d0 是A中正整数的公约数。
假设d∈A且d是A中任意正整数的最大公约数，d|d0，又d0|d，所以d0=d。特别地
d0 =gcd（|a|，|b|）
=gcd（a，b）。
设m=m0d0，d0=gcd（a，b）= x0 a+ y0 b，则
m0（ x0 a+ y0 b）=m，
我们构造了裴属等式的一组可行解 x=m0x0，y=m0y0。
实际上解可以有有无穷多组：x=（m0x0+kb/d0）, y=（m0y0-ka/d0）, k∈Z。
必要性：如果xa+yb=m成立，那么m∈A，d0||m|，d0|m。
