再说约瑟夫环

题目来自@陈利人的微博：1到n个人排成一圈，从编号为1的人开始，依次说白，黑，白，黑，。。。，说到黑的人离队，问最后留下编号为几的人。

大家都知道，这是非常典型的约瑟夫环问题。其一般形式是M个人，构成一个环（圆），每隔N人就滚蛋，问最后剩下谁。

很多同学说答案是1，这可能是因为没理解题目（没上过数据结构？）。比如说三个人，A、B、C，编号分别是1、2、3.

A说“白”，B说“黑”，C说“白”，然后B滚蛋了，那么剩下A、C。注意，C已经说”白“了，而大家是构成环的，所以A要说“黑”了，所以A滚蛋。最终剩下编号为3的C。

通过一个循环链表（队列）可以很方便的模拟。代码我就不写了。模拟，是ACM题目训练里的三大常见题型之一：模拟、数论、DP、贪心、字符串、搜索

通过分析（大家可以参考这个链接：http://www.zhihu.com/question/20065611或者参考离散数学教材），可以通过简单的循环左移一位来获得结果，复杂度为O(1)。

比如说n=5，那么二进制表示为101，循环左移一位变成011，也就说如果n=5，那么最终唯一剩下来的编号是3（011）

但是，这里需要特别注意前导0的存在。比如n=5，那么二进制00000101循环移位后得到00001010结果却是10，这明显是不对的。

 

#include<iostream>
using namespace std;
const int BASE = 32;
int getLeadingZeroCounts(unsigned int x)
{
	int n = 1;
	if (x == 0) return -1;
	if ((x >> 16) == 0) { n = n + 16; x = x << 16; }
	if ((x >> 24) == 0) { n = n + 8; x = x << 8; }
	if ((x >> 28) == 0) { n = n + 4; x = x << 4; }
	if ((x >> 30) == 0) { n = n + 2; x = x << 2; }
	n = n - (x >> 31);
	return n;
}
unsigned int get(unsigned int n)
{
	unsigned int temp1 = (1 << (BASE - getLeadingZeroCounts(n)))-1;
	unsigned int temp2= n << 1;
	unsigned int temp3 = temp1 & temp2;
	return temp3 | 1;
}
int main()
{
	unsigned int n;
	while (cin >> n)
	{
		cout <<get(n) << endl;
	}
}

　　

说明：

1，我最早知道循环移位可以解决这个问题，是在高中时候所看的《算法设计与分析基础》(Anany Levitin著)这本书。有兴趣朋友可以参考下。

2，我最早知道代码中获得前导0的数量的实现，是在本科图书馆里看的《Hacker's Delight》(Henry S. Warren著)这本书。有兴趣朋友可以参考下。

当然，估计很多编译器和CPU都有搭配类似的指令了，速度当然很快。