[贪心]Dijkstra最短路径算法

其实这个算法写了很多次了，但是总是理解不深。这次专门拿出时间好好的分析一下。

【基本原理】

称为三角算法。以下面的简单图示表示。假设v1是我们的源点，它的最短路径长度已固定（为0）。那么首先找到的最短路径是v1-v2。找到v2之后，我们最短路径长度已固定的节点的集合就变成了{v1，v2}。那么需要更新与v2邻接的所有节点的最短路径长度的值，由于1+2<5，所以v3的最短路径长度就更新为3而不是保持为5。当然，如果v2到v3的距离大于4，v3的最短路径长度是不需要更新的。

Dijkstra的最短路径算法往往有几种存储方式，例如：

（1）邻接矩阵。形如a[i][j]来存储节点i与节点j之间的路径。

（2）邻接表。单是这一种存储方式就有两种变化：a）使用STL的vector，以节点为存储单位。每一个节点拥有一个node对象的vector，然后每一个node对象中存储下一个节点及到此节点的边长。虽然这种方法看起来很像上面的邻接矩阵表示法，但是由于vector的初始化比较灵活，不需要N^2的空间，因此实质上还是符合邻接表的初衷：在稀疏图中节省空间。b）以边为单位存储。每个边的对象包括起始节点、目的节点以及此边边长。另外还有将边存储为链表的，每个边的对象包括指向下条边的指针。

不光存储方式有变化，具体实现也有很多tricks。比如：在所有的边中选取距离当前集合中的节点最近的一条边时，可以采用堆来减少时间复杂度，无需遍历整个剩余边的集合。这样降低了整个程序的复杂度。

甚至输出方式也不止一种，有的要求输出源点到其他节点的最短路径，有的要求更高：要保存路径上的每一个节点。

【代码】

 

这里仅仅给出一个最原始的版本：使用邻接表存储，不使用堆，仅输出源点到其他节点的最短路径长度的值，而不输出整个路径。

 

using namespace std;

const int INF = 0x7FFFFFFF;

typedef struct node{
    int to;//以当前node为起点的边的终点
    int length;//此边的边长
     node(int n = -1, int l = INF ) { to = n ; length = l ; }
};
typedef vector<node> vnode;//每一个顶点的出边数组

//寻找最短路径尚未固定，且当前路径最小的那个节点。
static int nearestNotfixed( vector<int> &shortest, vector<bool> &fixed, int num ){
    int nearestVertex = -1;
    int nearestDist = INF;

    for( int i = 0 ; i < num ; ++i )
        if( ! fixed[i] )
            //找到最短路径最小的那个节点
            if( shortest[i] < nearestDist )
             {
                 nearestDist = shortest[i];
                 nearestVertex = i;
             }
    return nearestVertex;
}

/*每当寻找到新的最短路径固定的节点之后，更新与它邻接的所有节点的最短路径。
@adjacent: 与刚找到的节点邻接的所有节点
@nearest : 最短路径已固定的节点到刚找到的节点之间的路径长度
*/
static void refreshDist(vector<node> &adjacent, vector<int> &shortest, vector<bool> &fixed, int nearestDist ){
     vector<node>::iterator iter = adjacent.begin();
    for( ; iter != adjacent.end() ; ++iter)
        if( ! fixed[iter->to] )
            if( iter->length + nearestDist < shortest[iter->to] )
                 shortest[iter->to] = iter->length + nearestDist;
}

//main function
void dijkstra( vector<vnode> &graph, vector<int> &shortest, vector<bool> &fixed, int num, int source ){
     shortest[source] = 0;
    for( ; ; ){
        //寻找一个最短路径尚未固定的节点
        int nearest = nearestNotfixed( shortest, fixed, num);
        //所有节点的最短路径都已经固定，因此找不到可以更新的节点，程序退出。
        if( nearest == -1 )
            break;
        fixed[nearest] = true;
        //更新邻接于刚找到的节点的所有节点的最短路径
         refreshDist( graph[nearest], shortest, fixed, shortest[nearest] );
     }
}

int main(){
    /////////////////initialization//////////////////////
    int N;//total number of vertices
    int source;//the source vertex

    /*
     输入文件格式：第一行为总顶点数 第二行为源点序号
     以下每行为一条边：起点 终点 边长度
    */
     ifstream infile("dijkstra.txt");
     infile>>N;
     infile>>source;

    //graph[i]是第i个节点的邻接节点的数组。
     vector<vnode> graph(N);
    //距离源点的最短路径。
     vector<int> shortest(N,INF);
    //最短路径已固定（不会再被更新）的节点的集合，固定后标记为true。
     vector<bool> fixed(N,false);

    //input loop
    //按照数据格式输入每条线段的起点、终点和长度
    int from,to,length;
    while( !infile.eof() ){
         infile>>from>>to>>length;
         graph[from].push_back( node(to,length) );
     }
    /////////////////////end of initialization//////////////////
     dijkstra( graph, shortest, fixed, N, source );
    //打印最短路径数组。其中源点对应的项肯定为0。
     printVector(shortest);
    return 0;
}

【输入数据】

输入的dijkstra.txt文件如下（这个例子实际上是《数据结构与算法分析C++描述》中文第三版中p.258的例子），但因为例子中的节点都是从1开始，输入的时候需要改为从0开始：

7
0
0 1 2
0 3 1
1 3 3
1 4 10
2 0 4
2 5 5
3 2 2
3 4 2
3 5 8
3 6 4
4 6 6
6 5 1

【示意图】

这个例子的图示如下：