【原理】
这个算法也是求最短路径时常用的算法，但由于其复杂度为O（EV）其中E、V分别为边的总数和顶点的总数。
如果当为稠密图时，E也是O（V^2）的级别，因此整体复杂度会达到O（E^3）。如果是稀疏图，则无法达到使用优先队列的Dijkstra算法的O（E*logV）。因此，Bellman-Ford算法更适合于稠密图。
但是它相比Dijkstra算法更好的一点就是，它能够处理带有负权值的边。但是依然无法处理负权值的回路，如果遇到的话会检测到，从而退出程序。
算法思想如下：
Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：
（1）初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
（2）迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
（3）检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
大致的证明如下：
首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。
其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）
如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。
如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。
【代码】
算法伪代码如下：
1 for each vertex v ∈ V（G） do //初始化 1阶段
2 d[v] ←+∞
3 d[s] ←0; //1阶段结束
4 for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始，双重循环。
5 for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。
6 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //松弛判断
7 d[v]=d[u]+w(u,v) //松弛操作 2阶段结束
8 for each edge（u,v） ∈E(G) do
9 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10 Exit false
11 Exit true
算法的具体实现如下（给出了主要函数和定义）：
typedef struct
{
int src, dst, len;
} edge[N];
//the current shortest distance
int dis[N];
//v is the number of vertices
//e is the number of edges
bool bellman_ford(int src)
{
for (int i = 0; i < v; ++i)
dis[i] = INT_MAX;
dis[src] = 0;
//relax
for (int i = 1; i < v; ++i)
for (int j = 0; j < e; ++j)
if (dis[edge[j].src] != INT_MAX &&
dis[edge[j].dst] > dis[edge[j].src] + edge[j].len)
dis[edge[j].dst] = dis[edge[j].src] + edge[j].len;
//if there is negative cycle
for (int i = 0; i < e; ++i)
if (dis[edge[i].src] != INT_MAX &&
dis[edge[i].dst] > dis[edge[i].src] + edge[i].len)
return false;
return true;
}
另外的算法优化的方法（包括SPFA）可以见下面的链接：
http://hi.baidu.com/jzlikewei/blog/item/94db7950f96f995a1038c2cd.html
http://hi.baidu.com/jzlikewei/blog/item/5343d134b54c6f48251f14cd.html
