[动态规划经典之三]最长公共子序列

这是动态规划的经典问题之一，也有空间换时间的特点：储存计算过程中的信息，防止回溯及多余的遍历。

【公共连续子串】

我们知道，如果寻找“最长公共连续子串”问题，那么可以用下面文章所说的“矩阵填充法”：

http://acm.whu.edu.cn/blog/read.php?24

实际上不连续的子序列问题，也还是采用了类似的方法。

【最长公共子序列问题】

具体的解释和递推公式，可以看下面的参考文献。我的代码里面主要是两个函数，第一个是计算长度，第二个是在矩阵中回溯，以找到这个子序列。回溯采取了与生成完全一致的方法。

//LCS
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

int LCS_length( string& a, string& b, vector< vector<int> >& matrix )  
{
    int i, j;
    for( i = 1; i <= a.size(); i++ )
     {
        for( j = 1; j <= b.size(); j++ )
         {
            if( a[i-1] == b[j-1] )
             {
                //find a common char
                 matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1;
             }
            else
             {
                 matrix[i][j] = max( matrix[i-1][j], matrix[i][j-1] );
             }
         }
     }
    //return the most bottom-right element in the matrix
    return matrix[a.size()][b.size()];
}

string build_LCS( string& a, string& b )   
{
    //record the search result.
    //Important! the matrix should be larger than the string in size!
     vector< vector<int> > matrix( a.size()+1, vector<int>( b.size()+1, 0 ) );
    //calculate the length of LCS
    int len = LCS_length( a, b, matrix );
     cout<<"The length of longest common subsequence is :"<<len<<endl;

    //the size of matrix
    int i = a.size();
    int j = b.size();
    string str;//save the LCS

    //backtracking the matrix
    int k = 0;
    while( k <= len - 1 )//important! len-1 not len.
     {
        //a[i] is not the common char
        if( matrix[i][j] == matrix[i-1][j] )
             i--;
        //b[j] is not the common char
        else if( matrix[i][j] == matrix[i][j-1] )
             j--;   
        //if matrix[i][j] == matrix[i-1][j-1]
        //find the common char
        else
         {   
             str.push_back( a[i-1] );
             k++;
             i--;j--;   
         }
     }
    //reverse the LCS
     reverse(str.begin(),str.end());
    return str;
}

int main()
{
    string a = "hello world happy birthday";
    string b = "abcd happy birthday";

     cout<<"The LCS is: "<<endl<<build_LCS( a, b )<<endl;
}

【参考文献】

最长公共子序列(Longest Common Subsequence)

http://blog.csdn.net/hhygcy/archive/2009/03/02/3948969.aspx

这里还给出了《编程之美》中“计算字符串的相似度”问题（也是一个动态规划算法）的非递归解法。字符串的相似度问题又称“编辑距离”（英文又叫Levenshtein Distance或者Edit distance），是用于字符串处理的常用算法之一，像windows下的winmerge和linux下的diff工具，就是基于这种字符串比较的。

代码如下：

// Edit_Distance.cpp : Defines the entry point for the console application.      
#include <vector>   
#include <iostream>   
#include <algorithm>   
  
template <class T> unsigned int edit_distance(const T& s1, const T& s2)   
{   
    const size_t len1 = s1.size(), len2 = s2.size();   
     std::vector<std::vector<unsigned int> > d(len1 + 1, std::vector<unsigned int>(len2 + 1));   
    for(int i = 1; i <= len1; ++i) d[i][0] = i;   
    for(int i = 1; i <= len2; ++i) d[0][i] = i;   
    for(int i = 1; i <= len1; ++i)   
        for(int j = 1; j <= len2; ++j)   
             d[i][j] = std::min<> ( std::min<> (d[i - 1][j] + 1,d[i][j - 1] + 1), d[i - 1][j - 1] + (s1[i - 1] == s2[j - 1] ? 0 : 1) );   
    return d[len1][len2];   
}   
  
int main()   
{   
     std::string s1("ABCBDAB");   
     std::string s2("BDCABA");   
     std::cout << "edit distance = " << edit_distance(s1, s2) << std::endl;;   
    return 0;   
}  

相关信息请看：http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance

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