离散数学——2.命题逻辑公式语法和语义

命题逻辑公式语法和语义

命题逻辑基本概念

• 命题及其真值
  • 对事物性质或关系进行判断，有真假值的陈述句
    • 非陈述句（感叹句、疑问句、祈使句）不是命题
    • 带变量的句子、认为是悖论的句子，没有真假值，不是命题
  • 命题的真值包含两个值，一个为真(true)，一个为假(false)
    • 使用0或F表示假，1或T表示真，真值集是2 =
• 原子命题和复合命题
  • 不含有逻辑联结词不能分割的命题是原子命题（简单命题）
    • 逻辑本身不研究原子命题的真值
  • 含有逻辑联结词，可分割为子命题的命题是复合命题
    • 复合命题的真值由原子命题的真值及其中的逻辑联结词决定
• 逻辑联结词：与、或、非、蕴涵和双蕴涵
  • 命题逻辑本质上是研究逻辑联结词的性质

命题逻辑公式的语法

命题逻辑公式的归纳定义

逻辑语言是逻辑公式的集合，逻辑公式是给定符号集的符号按照一定规则构成的符号串

• 逻辑公式的语法(syntax)就是构成公式的规则，体现为逻辑公式的归纳定义

为什么要学习公式的归纳定义?

1. 公式的归纳定义给出了分析公式结构的算法
   • 编写程序处理命题逻辑公式的基础
     • 进而可编写程序计算命题逻辑公式的真值等等
2. 培育严谨思考精神，以及可对逻辑有更深认识
   • 公式归纳定义是非常严谨的定义
   • 清楚公式语法结构可深化对逻辑语言的学习

命题逻辑公式的符号集

• 预先给定的命题变量集Var
  • 离散建模时从需求解的问题中提取的基本命题的符号化
  • 通常使用小写字母p, q, r表示命题变量
• 五个逻辑运算符 ¬ ∧ ∨ → ↔
• 辅助符号：左右圆括号(, )

命题逻辑公式的归纳定义

• 归纳基：命题变量集Var的每个符号是公式称为命题变量，也是原子公式
• 归纳步：
  • 如果A，则(¬A)是公式
  • 如果A, B是公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)是公式

归纳步在已有公式加逻辑运算符和圆括号构造更多公式

• 每个逻辑运算符对应一个构造公式的归纳步规则

归纳定义的最小化原则

• 每个公式都是原子公式、否定式、合取式、析取式、蕴涵式或双蕴涵式之一
• 每一步使用归纳步规则构造一个公式的已有公式是构造得到公式的子公式
• 对公式结构的分析可得到公式的抽象语法树，其中内部节点只用构造公式的逻辑运算符标记
• 子公式的语法结构由抽象语法树的子树描述

规定逻辑运算符的优先级和结合性，以减少圆括号的使用

• 运算符优先级用于确定一个命题变量处在两个不同的运算符中间时，该命题变量参与优先级高的逻辑运算
  • 逻辑运算符的优先级从高到低的顺序是 ¬, ∧, ∨, →, ↔
• 运算符结合性用于确定一个命题变量处在两个相同的二元运算符中间时，命题变量所参与的运算
  • ∧, ∨和↔是从左至右结合，而→是从右至左结合

命题逻辑公式的语义

命题逻辑公式语义的归纳定义

命题逻辑公式的语义 (semantic)是指如何确定命题逻辑公式的真值

• 在给定命题变量的真值的基础上如何确定命题逻辑公式的真值

• 命题逻辑公式的语法定义基于给定的命题变量集Var

• 命题逻辑公式的语义定义基于该命题变量集的一个真值赋值函数$\sigma :Var\to 2$

真值赋值函数

给定的命题变量集Var的一个真值赋值函数σ是

• 从Var到真值集2 = {0, 1}的函数σ: Var →2

成真赋值和成假赋值:对于真值赋值函数σ和公式A,若σ(A)= 1，则σ称为公式A的成真赋值，否则称为公式A的成假赋值

命题逻辑公式的真值表

根据真值赋值顺序和每一列关注的逻辑运算符的特点逐列构造真值表

合取：第一个分支为假，整个合取式为假，否则等于第二个分支的真值

析取：第一个分支为真，整个析取式为真，否则等于第二个分支的真值

蕴涵：第一个分支为假，整个蕴涵式为真，否则等于第二个分支的真值

• 命题逻辑公式从语法上分为原子公式、否定式、合取式、析取式、蕴涵式和双蕴涵式

• 命题逻辑公式从语义上分为永真式、矛盾式和偶然式（非永真的可满足式）