【汉化】筛分法

5 筛分法

筛分法本质上有两个变体。为确定一个集合的大小，我们会多算，然后从这个数中减去，再加上，再减去……直到元素的个数最终被精确确定。一个典例就是 容斥原理。在第二个变体中，我们会通过合适的权重筛掉不想要的元素。这就是对合原理背后的本质思路。

5.1 容斥

考虑一个有限集 $X$ 和三个子集 $A, B, C .$ 要算出 $| A \cup B \cup C |$ ，我们会求和 $| A | + | B | + | C | .$ 除非 $A, B, C$ 互无交集，否则我们就多算了，因为 $A \cap B, A \cap C, B \cap C$ 被算了两次。所以我们减去 $| A \cap B | + | A \cap C | + | B \cap C | .$ 现在这个数就对了，除了 $A \cap B \cap C$ 里的元素。他们被加上了三次，又被减去了三次。因此答案为

| A \cup B \cup C | = | A | + | B | + | C | - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C |,

或者说，

| X ∖ (A \cup B \cup C) | = | X | - | A | - | B | - | C | + | A \cap B | + | A \cap C | + | B \cap C | - | A \cap B \cap C | .

下面是通式。

使 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 为 $X$ 的子集，那么

| X ∖ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} | = | X | - \sum_{i = 1}^{n} | A_{i} | + \sum_{i < j} | A_{i} \cap A_{j} | \mp \dots + (- 1)^{n} | A_{1} \cap \dots \cap A_{n} | . (1)

为证明，我们检查一个元素 $x \in X$ 被算重了几次。如果 $x \notin ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$ ，那么它在方程的两边都算了一次。假设 $x \in ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$ ，更精确来说， $x$ 恰好在 $A_{i}$ 的 $m$ 个中。方程左边为 $0,$ 对右边，由于 $m \geq 1,$ 我们由 $(1)$ 得

1 - (\binom{m}{1}) + (\binom{m}{2}) - (\binom{m}{3}) \pm \dots + (- 1)^{m} (\binom{m}{m}) = 0.

由这个基本的解释可得容斥原理。假设给定一个集合 $X$ 作为论域，和一个属性集 $E = {e_{1}, \dots, e_{n}}, X$ 可能有，也可能没有这些属性。使 $A_{i}$ 为享有属性 $e_{i}$ （可能还有其他属性）的元素的集合。那么 $| X ∖ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} |$ 就是不拥有任何属性的元素的数量。现在考虑 $(1)$ 右边的写法。显而易见， $A_{i_{1}} \cap \dots \cap A_{i_{t}}$ 就是拥有属性 $e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{t}}$ （可能还有其他属性）的集合。使用如下记法：

\begin{array}{r} N_{\supseteq T} := # {x \in X : x 至少拥有 T 中的属性}, \\ N_{= T} := # {x \in X : x 有且仅有 T 中的属性}, \end{array} (2)

我们得到了容斥原理。

容斥原理. 使 $X$ 为一个集合，且 $E = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ 为属性集。那么

N_{= \emptyset} = \sum_{T \subseteq E} (- 1)^{| T |} N_{\supseteq T} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \sum_{T : | T | = k} N_{\supseteq T} . (3)

在 $N_{\supseteq T}$ 只取决于集合大小 $| T | = k$ 时，这个方程甚至会变得更简单。由于 $| T | = k,$ 我们就可以写作 $N_{\supseteq T} = N_{\geq k},$ 并称呼 $E$ 为同质属性集。我们马上可得在这种情况下 $N_{= T} = N_{= k}$ 也只取决于 $T$ 的势。因此对于同质属性集，有

N_{= 0} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) N_{\geq k} . (4)

例 1. 最早的例子聚焦于欧拉函数 $φ = # {d : 1 \leq d \leq n, gcd (d, n) = 1}$ 的计算。令 $n = p_{1}^{a_{1}} \dots p_{t}^{a_{t}}$ 为 $n$ 的质因数分解。让 $X = {1, 2, \dots, n}$ 且 $e_{i}$ 代表 $d$ 整除 $p_{i} .$ 显而易见， $N_{= \emptyset} = φ (n), N_{\supseteq T}$ 是 $\leq n$ 且是 $\prod_{e_{i} \in T} p_{i}$ 的倍数的整数个数。因此 $N_{\supseteq T} = \frac{n}{\prod_{e_{i} \in T} p_{i}},$ 且由 $(3)$ 得