ZROI 学习笔记之动态规划

都别催！！！等我有时间了例题和详细讲解都会补回来的！！！

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• 2023.10.11 补充细化 7 月 26 日单调队列 / 斜率优化 DP 部分。

7.24 区间 DP & 树形 DP

1. 区间 DP

• 合并：即将两个或多个部分进行整合，当然也可以反过来；
• 特征：能将问题分解为能两两合并的形式；
• 求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解为左右两个部分，最后合并两个部分的最优值得到原问题的最优值。

2. 树形 DP

• 经典问题：树的直径
• 换根 DP：《取消父子关系，再给人家当儿子》

wcy 硬垒

• 算法介绍：wcy 硬垒

• 命名原因：wcy 把扫描线合理外推，运用到甚至可能不算扫描线的方面，并称其为“扫描线的思想”，惨遭某人批评，于是，wcy 硬垒应运而生。

• 算法内容：类似扫描线的思想，将点集（区间端点集）按照某个坐标排序后分层，按层次从低到高逐层解决或层层合并，转换为一个或多个单层问题，再进行 DP 或查询操作。

• 例题：CF1372E，暑假模拟赛 D1T2。

  (虽然这两道题 wcy 自己都没有把正解完全想出来，但由于他的想法与题解十分接近，他固执的称这就是所谓的 wcy 硬垒。)

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7.25 状压 DP & 数位 DP

1. 状压 DP

状压 DP 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

—— OI WIKI

2. 数位 DP

3. Ex：线性基

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7.26 DP 优化

1. 前置知识

1.1 单调队列

笔者觉得这个东西本质还是单调栈，所以我们从单调栈讲起。

• 什么是单调栈？

  单调栈用于解决 NGE（Next Greater Element，下一个更大元素） 问题。

• 如何实现单调栈？

  首先其必须是一个栈。考虑在每次入栈时将当前元素与栈顶元素比较，如果当前元素更小就老老实实入栈；但如果更大，那么该元素就应该是栈顶元素的 NGE，然后将栈顶元素弹出，直至当前元素比栈顶元素小。

  这个做法应该不难理解，就是保持栈中的单调性。在我们举的例子中，就是维持栈中元素从底到顶单调不增。接下来，我们回到正题。

• 什么是单调队列？

  单调队列用于解决 滑动窗口 问题，一般是 一个序列的每个定长连续子序列的最大 / 最小元素。

• 如何实现 / 其和单调栈的异同？

  注意到单调栈中维护的其实就是 从最开始到当前位置的末项为当前位置的单调序列，比如解决下一个更小元素（就是刚才单调栈的例子反过来）的单调栈，其栈底的元素必然是目前为止最小的元素。

  我们需要的单调队列，就是需要这么一个单调序列，只不过其栈底元素应该是 从子序列起点起的最小元素。那么，这和单调栈有什么差异的？

  差一个 时效性，即栈底元素可能已经 不在要求的子序列中 了，这时我们就应该 弹出栈顶元素。发现什么了吗？

  这是一个 双端队列。所以，我们只需要：

  1. 将栈顶作为队尾，将栈底作为队首；
  2. 插入元素时，将队尾劣于当前元素的元素弹出，再插入当前元素；
  3. 及时将队首失去时效性的元素弹出；
  4. 队首元素即是滑动窗口答案。

  可以感性的理解为，队尾在存储后备人才，队首是先锋。而如果你作为后备人才时，比人家年纪大（位置靠前），还比人家菜（更劣），那你就该 pop 了，把人家送进去吧；如果你虽然年纪大，但是比人家牛，那就让人家做你的替补，你的先锋全部退休之时，就是你成为先锋的那一天。

滑动窗口作为一类优化的模型，经常被广泛套用，故掌握单调队列极其重要。

1.2 DP 规模的描述

我们通常用 \(t\)D / \(e\)D 来描述动态规划 规模 的类型，其中 \(t\) 表示问题大小，\(e\) 表示转移时依赖子问题的大小。即状态数 \(n^t\)，每个状态依赖于 \(n^e\) 个前驱状态的信息。除非问题有特殊性质，解决 \(t\)D / \(e\)D 动态规划需要 \(O(n^{t+e})\) 的时间复杂度。

下文中可能会用这种描述来定义优化的常见应用场景。这里也同时给出一些常见的规模：

• \(1\)D / \(1\)D：最长上升子序列。
• \(2\)D / \(0\)D：最长公共子序列，普通背包问题。
• \(2\)D / \(1\)D：多源最短路 Floyd。

2. 基于决策单调性的优化

2.1 大前提：决策单调性

• 如何理解决策单调性？

  通常情况下，决策单调性 体现在 1D 维度 上。形式化定义是，设 \(f\) 表示当前层，\(g\) 表示下一层，设 \(g_i\) 从 \(f_{p_i}\) 处转移且 \(p_i\) 最小 / 最大，则 \(i<j \implies p_i \leq p_j\)。

  形象的理解，如果我们把每一阶段的状态与上一阶段决策这一状态的状态做连边（即只取状态转移时最优的状态转移画出边来），形成一个分层图，那么这里面每一条路径必然 不交。

• 判断：四边形不等式

  四边形不等式：\(a<b<c<d \implies w(a,d)+w(b,c) \text{ worse than } w(a,c)+w(b,d)\)，即 包含劣于相交。

  设 \(f_j\) 可以从 \(f_i+w(i,j)\) 转移到得，如果转移中的贡献函数 \(w(u,v)\) 满足四边形不等式，那么 \(f\) 具有决策单调性。

  利用反证法即可证明这一结论，此处省略。同时，决策单调性形象的理解也让我们很容易理解这一结论的正确性——因为单调性决策的最优转移路径 不交。

2.2 单峰性 - 单调队列优化

单峰性：对于某个状态的最优转移点，其左边的贡献向左单调递减,右边也向右单调递减。（一个单峰函数）

对于这样的状态，我们直接施展单调队列维护就可以了。\(O(n^2)\) 的转移可以降到 \(O(n)\)。

最经典的一类问题是，如果转移方程可以写成 \(f_i = \min { f_j + cost_{i,j} }\)，且可以证明（到考场上可以换成猜想）这个问题具有决策单调性，（表现为若 \(f_i\) 转移自 \(f_j\)，则对于任意 \(k>i\) 如果从 \([1,i-1]\) 中转移则 \(f_j\) 仍然最优。）那么一般就可以直接使用单调队列维护了。

2.3 分治法

• 常见于 \(2\)D/\(1\)D 的 DP。
• 对于每个区间，暴力寻找中点的决策点，然后递归寻找两边，由于决策单调性，中点左边的点决策点也必然在中点决策点左边。
• 时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

2.4 斜率优化

常见于 \(1\)D/\(1\)D 的 DP。

一般来说是考虑能否将转移方程写成

\[f_i = f_j + cost_i + cost_j + F_i F_j, \]

即一些只和 \(i,j\) 中一个有关的项和与两者都有关的项。然后考虑写成

\[f_j + cost_j = - F_i F_j + f_i - cost_i \]

的形式。我们将他对比一次函数截距式：

\[y = kx + b, \]

便得出一个 \(y = f_j + cost_j, k = -F_i, x= F_j, b= f_i - cost_i\) 的 一次函数。

有什么用呢?

我们来看看这个一次函数有什么意义。

• 首先，对于每一个要求的状态 \(i\)，我们要求的值 \(f_i = b + cost_i\)，所以我们的目的就是 最大 / 小化截距。（最大还是最小看转移方程取 \(\min / \max\)。）
• 注意到斜率 \(k\) 只与 \(i\) 相关，而 \(i\) 已确定，所以 斜率 是定值。
• 最后，注意到这个空间中的每一个点对 \((x,y)\) 实际上是 \((F_j , f_j + cost_j)\)，也就是说每一个点对应一个状态 \(j\)。
• 这样，转移就变成了 最优化定斜率过某一定点的直线的纵截距。最优化指最大 / 小化中的满足题意的一个。

这个问题如何解决？考虑哪个点会成为最优化截距时直线经过的点。对于每一个斜率 \(k\)，这些有可能被选中的点就形成了一个凸包。于是我们 维护凸包 即可。

一般来说，我们解决的问题斜率是 单调增长 的，且插入的点的 \(x\) 坐标有序，即对于 \(i \ in [1,n]\)，\(F_i\) 单调，且转移过程是 \(1 \to n\) 遍历，那么我们就可以直接使用 单调队列 维护；如果查询的斜率不单调，但 \(x\) 坐标单调，则可以使用单调栈维护凸包，在上面二分寻找查询斜率的直线与凸包的切点；如果没一个单调的，那就需要使用李超线段树或动态凸包维护了。

2.5 二分队列

• 可以解决状态转移需要同阶段其他状态的情况。（比如 \(dp(i,j)\) 需要由 \(dp(i,k)\) 推出。）
• 要求转移时的贡献能快速计算，一般是 \(O(1)\)。
• 设当前要求 \(dp_i\)，考虑建立存储三元组 \((j,l,r)\) 的队列，表示 \(l \sim r\) 的最优决策点是 \(j\)。
• 每次判断队首三元组是否过时，若 \(r<i\) 则弹出队首。否则将 \(l\) 赋值为 \(i\)。
• 不想贺魏老师的博客了……有什么独到的理解了我再写。

3. 常见背包优化

3.1 缺一分治

• 优化背包 DP
• 每次向下递推时对另一个区间背包（所以要求你可撤销），比如处理 \([l,mid)\) 的时候把 \([mid,r)\) 背包了，这样等到了边界条件的时候，你就获得了一个必然不选 \(l\)，对其他物品进行背包的 DP 结果了。

3.2 倍增背包

• 或者我们称为 二进制拆分 + 多重背包。
• 将一个物品的数量 \(w\) 转化为 \(2\) 的幂次，注意 不是 \(w\) 的 二进制表示！而是 \(2^0,2^1,2^2,\dots,2^k,w-\sum \limits_{i=0}^{k}2^i\)，用这种方法拆分，就可以在 \(\log w\) 内用这几项的所有组合表达 \(1 \sim w\) 的所有选择了。

4. 数据结构优化

• 线段树
• 倍增
• 并查集

5. 期望 DP 的优化

• 观察性质
• double 转 int

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7.27 矩阵乘法及其相关

1. 前置知识

1.1 矩阵乘法

• 具有结合律，但不具有交换律。（故可以使用快速幂）

• 基础运用：优化线性递推与线性 DP。（详见山东游记）

• 广义矩阵乘法：

  \[C_{i,j} = \bigoplus \limits_{k=1}^n A_{i,k} \otimes B_{k,j} \]

  只要 \(\bigotimes\) 满足 结合律，且 \(\bigotimes\) 对 \(\bigoplus\) 满足 分配律，那么其就满足 结合律。常见的广义矩阵乘法比如：

  • \(\max,+\) 卷积，比如求树的最大权独立集，即 DDP 的模板题。
  • \(\operatorname{or},\operatorname{and}\) 卷积，图论的邻接矩阵在此广义矩阵乘法下的 \(k\) 次方描述了点 \(i\) 出发走 恰好 \(k\) 步可以到达的节点。

1.2 倍增思想

再重要不过了。用过倍增思想我们可以轻松的在 \(\log\) 的复杂度内求解幂次：

template <typename _Tp> _Tp ksm(_Tp base,int ind,int mod=INT_MAX) {
	_Tp ans=1;
	while(ind) {
		if(ind&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod; ind>>=1;
	}
	return ans%mod;
}

亦或者快速求解 \(\sum \limits_{i=1}^{n-1} a^i\)：（详见山东游记）

template <typename _Tp> _Tp fac_pow(_Tp base,int ind,int mod=INT_MAX) {
	_Tp ans=0,now=1; int st[100] {0};
	while(ind) {st[++st[0]]=ind&1,ind>>=1;}
	while(st[0]) {
		ans=(ans+(now*ans%mod))%mod,now=now*now%mod;
		if(st[st[0]]) ans=(ans+now)%mod,now=(now*base)%mod;
		st[0]--;
	}
	return ans;
}

熟练的利用倍增，和矩阵搭配会更香哦。

2. 动态 DP

一般指树上的动态 DP。

动态 DP 主要用于解决一类问题。这类问题一般原本都是较为简单的树上 DP 问题，但是被套上了丧心病狂的修改点权的操作。

—— Tweetuzki

• 写出转移方程，使用矩阵转移，但 \(n^3\) 的转移有点承受不了。
• 注意到 DS 可以快速转移状态，而树剖具有最大链深度 \(O(\log n)\) 的优点，将二者融会贯通。
• 黄色的树林中分出两条路：线段树与全局平衡二叉树。

3. Ex：多项式取模

关于特征多项式，笔者也不会 qwq，别指望笔者能写出什么，笔者只能写自己会的。

反正我们知道，对于一个函数，给定其递推式，如

\[f_i=f_{i-1}+f_{i-2}, \]

那么移项之后，

\[f_i-f_{i-1}-f_{i-2}, \]

这就是这个函数的特征多项式。其实准确来说，移项之后是

\[f_i-f_{i-1}-f_{i-2}=0, \]

所以可以浅显的理解为，多项式对该多项式取模就相当于对 \(0\) 取模，结果不变，只是次数降到了特征多项式次数以下。（？我知道这样很不严谨，但我学艺不精 qwq，大家领会精神吧……）

所以，我们在每次乘法后对特征多项式取模，就可以把次数压住啦。举个例子，一个函数的递推式是 \(f_i=\sum \limits_{j=1}^{1000} f_{i-j}\)，用 \(n^3\) 的矩阵乘法递推肯定要寄，这时候就可以令 \(x^i = f_i,x_i=\sum \limits_{j=1}^{1000} x^{i-j}\)，搭配快速幂，直接用多项式乘法正常 \(n^2\) 卷就可以啦~

那么，如何取模呢？

考虑到取模其实本质上是一直减，我们考虑不断将原多项式减去特征多项式的倍数即可。从贪心的角度，我们考虑每次消掉最高次项。这里举个例子，\(x^5\) 对 \(x^2-x-x^0\) 取模：

\[\begin{aligned} x^5 & = x^5 - x^3 ( x^2 - x - x^0 ) \\ & = x^4 + x^3 \\ & = x^4 + x^3 - x^2 ( x^2 - x - x^0 )\\ & = 2 x^3 + x^2 \\ & = 2 x^3 + x^2 - 2x ( x^2 - x - x^0 ) \\ & = 3 x^2 + 2x \\ & = 3 x^2 + 2x - 3 ( x^2 - x - x^0 )\\ & = 5x + 3x^0. \end{aligned}\]

\(x^0\) 可不一定是 \(1\) 哦，比如上面的 肥不拉几 斐波那契数列中 \(x^0=f_0=0\)，斐波那契数列的特征多项式就是 \(x^2-x-x^0\)，那么根据上面的取模就可以知道 \(fib_5=5fib_1+3fib_0=5\) 了。

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7.28 欢乐 ACM

太欢乐了。

—— 总结一下上午

—— 我 D 后缀数组超纲了就会一半

—— agy 分治没治出来

—— zzm 数位 DP 假了

—— 痛失三道题……

made，怎么什么都不会……

本来想写解题报告来着，被恶心到了，鸽了吧。