停课后学习笔记

判断当前集合大小用的 fa[i]==i 不对嗷，应该是 size[rt[get(i)]]==1;
连通的时候要考虑 \(x \geq N\) 或 \(y \geq N\) 的情况。因为到最后 连通块的大小和总数相当，导致 \(x\) 或 \(y\) 远远超出 \(n\) 了。这样下去会炸的！！！

5.22 周一 - 博弈论

[省选联考 2023] 过河卒

差点没死。

首先是码量大，然后调了一圈之后发现错的是 in_range 的判断写成了 y<=n 而非 y<=m。

相似了。

然后那个 {1,0} 的初值，1 指的是当前出棋方必败，不是先手必败。

为什么拓扑排序能通过有环但不平局 / 多种选择取最优的情况？

我们观察我们的代码：

inline void toposort() {
	while(!topo.empty()) {
		auto u=topo.front(); topo.pop();
		if(ws[u].fr==1) {
			for(int p=head[u],v=E[p].to;p;p=E[p].next,v=E[p].to) {
				if(ws[v].fr==inf) ws[v]={0,ws[u].sc+1};
				if(!ws_vis[v]) ws_vis[v]=1,topo.push(v);
			}
		}
		else {
			for(int p=head[u],v=E[p].to;p;p=E[p].next,v=E[p].to) {
				if(--ind[v]==0) {
					if(ws[v].fr==inf) ws[v]={1,ws[u].sc+1};
					if(!ws_vis[v]) ws_vis[v]=1,topo.push(v);
				}
			}
		}
	}
}

首先，在反图中，环在结果一边的出点 出度大于 1.

对于 ws[u].fr==1 的情况，证明当前是出棋者的必败状态，则 出点是出棋者的必胜状态。所以无所畏惧，我们将他的 所有出点 入栈，不考虑入度是否清零。即，即使有环，我照样赢。

对于 ws[u].fr==0 的情况，证明 如果出环，出棋者必输。所以我们考虑将 无入度的出点 入栈。即，我 不能让你进入环内，或者从起点方向说，我 不会选择出环。

这同样也是拓扑排序可以在多种不同的选择中做出最优选择的原理。与环不同的是，多个选择的决定点 出度大于 1. 但异曲同工的是，魔改后的拓扑排序 永远对将当前点判定为出棋者胜的点给予最高优先级。

5.25 周三 - 迭代加深搜索

P1763 埃及分数

dfs 再用结构体我是狗

dfs 再类型转换我是狗

1.20s TLE -> 1.10s AC -> 227ms AC

这俩 B 玩意是真扣时间

5.26 周五 - 树的直径

P3304 [SDOI2013]直径

手写栈开栈空间里，于是爆了。

static 关键字可以在函数中声明 静态空间 的变量，和 全局变量 一个效果。
复制开销大的类函数建议传参使用 const T&，使用 const 左值引用可以减少开销，且适用于绑定右值的场景。

5.29 周一 - 分治

6.4 周日 - 欧拉回路

海尔霍尔泽正确性检验 - Hierholzer

需要注意的是，由于点可以重复，所以 不打标，采用 \(hd_u\) 记录遍历边数 的方法确定是否遍历结束所有边。
如果需要最小字典序，那么就只能使用 一般邻接表（通常是 std::vector），然后进行 std::sort。如果不需要字典序，可以考虑 前向星，速度会更快。
看起来很简单，只是在 判定确实存在欧拉路径 后 找合适的起点（根据性质，比如半欧拉图中无向图的 奇度点，有向图的 唯一出大于入点）然后 一路 dfs 到底。但事实上，在一个节点的所有出边 遍历结束 后入栈是一个经过了严谨思考与证明的巧思。从正面讲，可以证明合理性；从反面讲，可以证明正确性。应该加深理解。

6.11 周日 - 可持久化数据结构

【模板】可持久化文艺平衡树

注意使用函数简化操作，增加正确性（增加 clone 函数）
注意 FHQ - treap 分裂区间 —— v 在左边！

6.12 周一 - 偏序 / cdq 分治

made，看不懂他们不加 \(\LaTeX\) 的 shaber 公式，我自己打吧……

偏序关系：集合内只有部分元素间在这个关系下是可以比较的
全序关系：集合内任何一对元素在这个关系下都是可以比较的

我们设 \(\operatorname{R}\) 是集合 \(A\) 上的一个二元关系，如果有：

自反性：对任意 \(x \in A,\) 有 \(x \operatorname{R} x;\)
反对称性：对任意 \(x,y \in A,\) 若 \(x \operatorname{R} y,\) 且 \(y \operatorname{R} x,\) 则 \(x=y;\)
传递性：对任意 \(x,y,z \in A,\) 若 \(x \operatorname{R} y,\) 且\(y \operatorname{R} z,\) 则 \(x \operatorname{R} z.\)

则称 \(\operatorname{R}\) 是 \(A\) 上的偏序关系，通常记作 \(\preccurlyeq.\)

1. 二维偏序与树状数组

一般来讲，二维偏序采用 树状数组 解决。将一维排序，另一维采用权值树状数组维护，按序查询 \([1,a_i-1]\) 后在 \(a_i\) 出插入 \(1\) 即可。可以看出，本质上这是 离线做法。以后用到的离线做法会越来越多。

之前做过的逆序对就是典型的二维偏序。最开始，我们是考虑采用线段树解决的；现在我们知道，对于 单点修改，区间查询，树状数组更加优秀（修改查询都是 \(O(\log n)\)）。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
#define fsp(x) std::fixed<<std::setprecision(x)
#define forE(u) for(int p=head[u],v=E[p].to;p;p=E[p].next,v=E[p].to)
const int N=5e5+5;
int n,cnt,a[N],o[N];
ll ans,t[N];
inline int lowbit(int x) { return x&(-x); }
inline void change(int x) { while(x<=cnt) t[x]+=1,x+=lowbit(x); }
inline int query(int x) {
	ll ans=0;
	while(x) ans+=t[x],x-=lowbit(x);
	return ans;
}
int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr); std::cout.tie(nullptr);
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i) { std::cin>>a[i]; o[i]=a[i]; }
	std::sort(o+1,o+n+1); cnt=std::unique(o+1,o+n+1)-o-1;
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=cnt-(std::lower_bound(o+1,o+cnt+1,a[i])-o)+1;
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=query(a[i]-1),change(a[i]);
	std::cout<<ans;
	return 0;
}

什么？你想要二维偏序在线做法？有本事你树套树啊！

2. 三维偏序与 cdq 分治

接下来我们就要搞一些好玩的，三维偏序。

一般来讲，如果考虑在线，每一维都需要采用一个数据结构来维护，典型的两个数据结构维护两位就是 树套树；而现在我们要处理三维，不可能树套树套树对吧，给评测机整个二倍空间都费劲，更何况你手写这东西也是要疯的。所以就只能考虑离线了。

我们要先介绍一个新的算法：cdq 分治。顾名思义，这是由陈丹琦引入国内 OI 界的。其核心思想是对需要计算贡献的点先 二分递归计算子问题贡献，再 合并子问题计算跨子问题贡献。

cdq 分治和整体二分都是基于分治的思想，把复杂的问题拆分成许多可以简单求的解子问题。但是这两种算法必须离线处理，不能解决一些强制在线的题目。不过如果题目允许离线的话，这两种算法能把在线解法吊起来打（如树套树）。
——【洛谷日报#115】CDQ分治和整体二分

比如还是逆序对，我们就考虑将需要计算贡献的点 \([l,r)\) 分成 \([l,mid),[mid,r)\) 两个子问题，然后分别计算子问题贡献，最后计算 \(i \in [l,mid), j \in [mid,r)\) 的这种跨子问题贡献。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
#define fsp(x) std::fixed<<std::setprecision(x)
#define forE(u) for(int p=head[u],v=E[p].to;p;p=E[p].next,v=E[p].to)
const int N=5e5+5;
int n,cnt,a[N],o[N],s[N],top;
ll cdq(int *A,int sz) {
	if(sz==1) return 0;
	int M=sz>>1,*ptr1=A,*ptr2=A+M;
	ll ans=cdq(A,M)+cdq(A+M,sz-M); top=0;
	while(ptr2<A+sz) {
		while(ptr1<A+M && *ptr1>*ptr2) s[top++]=*ptr1++;
		ans+=ptr1-A,s[top++]=*ptr2++;
	}
	while(ptr1<A+M) s[top++]=*ptr1++;
	memcpy(A,s,sizeof(int)*top);
	return ans;
}
int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr); std::cout.tie(nullptr);
	std::cin>>n;
	for(int i=0;i<n;++i) { std::cin>>a[i]; o[i]=a[i]; }
	std::sort(o,o+n); cnt=std::unique(o,o+n)-o;
	for(int i=0;i<n;++i) a[i]=std::lower_bound(o,o+cnt,a[i])-o+1;
	std::cout<<cdq(a,n);
	return 0;
}

你可能会想起逆序对的两种招牌做法——归并排序和树状数组，然后发现 这道题的 cdq 分治做法就是前者。从这点看，可以说 cdq 分治是归并排序的拓展，归并排序是 cdq 分治解决二维时的简单情况。

从这点上理解 cdq 分治，刚开始，我们通常先按第一维作为第一关键字排序；而在子问题处理完毕后，便只需要考虑跨子问题的贡献，子区间内第一维的顺序已经无所谓了，则可以将两个子区间按照我们需要的第二维作为第一关键字进行排序，并使用双指针解决跨子问题贡献，这本质上就是一个归并排序。（真的是人类智慧啊，就那么几行搞完了 qwq）

所以现在，我们回到三维偏序。怎么解决三维偏序？记住一个核心思路：一个数据结构维护一维，离线可以省去一维。所以，我们考虑最外层离线，按一、二、三维为第一、二、三关键字来排序；接下来在第二维使用 cdq 分治，对子序列以第二、三维作为第一、二关键词排序，然后处理跨子问题贡献；在第三维，使用树状数组维护，像逆序对一样，但是别忘记在每次处理后将树状数组清零，cdq 分治的每一个子问题中树状数组维护的信息是无法继承的。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
#define fsp(x) std::fixed<<std::setprecision(x)
#define forE(u) for(int p=head[u],v=E[p].to;p;p=E[p].next,v=E[p].to)
const int N=1e5+5;
int n,k,tot,t[N<<1],f[N];
struct data { int a,b,c,cnt; ll ans; } elem[N],u[N];
inline int lowbit(int x) { return x&-x; }
inline void modify(int x,int v) { while(x<=k) t[x]+=v,x+=lowbit(x); }
inline ll query(int x) { ll ans=0; while(x) ans+=t[x],x-=lowbit(x); return ans; }
void solve(int l,int r) {
	if(l+1==r) return;
	int mid=l+r>>1,ptr=l;
	solve(l,mid),solve(mid,r);
	std::sort(u+l,u+mid,[](const data &x,const data &y){ return x.b!=y.b?x.b<y.b:x.c<y.c; });
	std::sort(u+mid,u+r,[](const data &x,const data &y){ return x.b!=y.b?x.b<y.b:x.c<y.c; });
	for(int i=mid;i<r;++i) {
		while(ptr<mid && u[ptr].b<=u[i].b) modify(u[ptr].c,u[ptr].cnt),++ptr;
		u[i].ans+=query(u[i].c);
	}
	for(int i=l;i<ptr;++i) modify(u[i].c,-u[i].cnt);
}
int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr); std::cout.tie(nullptr);
	std::cin>>n>>k;
	for(int i=0;i<n;++i) std::cin>>elem[i].a>>elem[i].b>>elem[i].c;
	std::sort(elem,elem+n,[](const data &x,const data &y){ return x.a!=y.a?x.a<y.a:x.b!=y.b?x.b<y.b:x.c<y.c; });
	u[tot]=elem[0],++u[tot].cnt;
	for(int i=1;i<n;++i) {
		if(elem[i-1].a!=elem[i].a || elem[i-1].b!=elem[i].b || elem[i-1].c!=elem[i].c) u[++tot]=elem[i];
		++u[tot].cnt;
	}
	solve(0,++tot);
	for(int i=0;i<tot;++i) f[u[i].ans+u[i].cnt-1]+=u[i].cnt;
	for(int i=0;i<n;++i) std::cout<<f[i]<<'\n';
	return 0;
}

一般来讲，cdq 分治的复杂度计算主要依赖于层数，根据具体情况不同。一般来讲层数是 \(\log n.\)

6.13 周二 - cdq 分治

P4755 Beautiful Pair

不要总是写从 0 开始的数组这种你明显驾驭不了的东西。

在需要离散化的操作的时候，从 0 开始就体现出了极强的不稳定性。所以我制定如下标准：

主程序使用 从 1 开始的数组。
分治采用 左开右闭区间。

保留左开右闭区间是我的一个执念吧……而且有时候确实有优势。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
#define fsp(x) std::fixed<<std::setprecision(x)
#define forE(u) for(int p=head[u],v=E[p].to;p;p=E[p].next,v=E[p].to)
const int N=1e5+5;
using std::upper_bound;
using std::lower_bound;
ll n,node,a[N],b[N],cnt,pre[N],suf[N],rev[N];
int root[N];
struct segment_tree { int ls,rs,sum; } t[N<<6];
void modify(int o,int &x,int l,int r,int p) {
	t[x=++node]=t[o],++t[x].sum;
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	if(p<=mid) modify(t[o].ls,t[x].ls,l,mid,p);
	else modify(t[o].rs,t[x].rs,mid+1,r,p);
}
ll query(int L,int R,int l,int r,int p) {
	if(l==r) return t[R].sum-t[L].sum;
	int mid=l+r>>1;
	if(p<=mid) return query(t[L].ls,t[R].ls,l,mid,p);
	return t[t[R].ls].sum-t[t[L].ls].sum+query(t[L].rs,t[R].rs,mid+1,r,p);
}
ll solve(int l,int r) {
	if(l+1==r) return b[a[l]]==1;
	ll mid=l+r>>1,ans=solve(l,mid)+solve(mid,r);
	for(int i=mid;i<r;++i) pre[i]=std::max(pre[i-1],a[i]);
	for(int i=mid-1;i>=l;--i) rev[mid-i]=suf[i]=std::max(suf[i+1],a[i]);
	for(int i=l;i<mid;++i) {
		int ptr=upper_bound(pre+mid,pre+r,suf[i])-pre-1;
		if(ptr>=mid) {
			int val=upper_bound(b+1,b+cnt+1,b[suf[i]]/b[a[i]])-b-1;
			if(val) ans+=query(root[mid-1],root[ptr],1,cnt,val);
		}
	}
	for(int i=mid;i<r;++i) {
		int ptr=mid-(lower_bound(rev+1,rev+mid-l+1,pre[i])-rev-1);
		if(ptr<mid) {
			int val=upper_bound(b+1,b+cnt+1,b[pre[i]]/b[a[i]])-b-1;
			if(val) ans+=query(root[ptr-1],root[mid-1],1,cnt,val);
		}
	}
	for(int i=l;i<r;++i) pre[i]=suf[i]=0;
	return ans;
}
int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr); std::cout.tie(nullptr);
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i) { std::cin>>a[i]; b[i]=a[i]; }
	std::sort(b+1,b+n+1); cnt=std::unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=lower_bound(b,b+cnt,a[i])-b,modify(root[i-1],root[i],1,cnt,a[i]);
	std::cout<<solve(1,n+1)<<'\n';
	return 0;
}

6.14 周三起 - 网络流开机

由于网络流极其庞大，所以我暂时也不知道我应不应该写博客。我把大概纲要记了下来，叫网络流入门手册，如果写博客的话我就按这个展开。（魏老师的博客真的很好 qaq）

6.28 周三 - 卡特兰数

卡特兰数可以认为是长度为 \(2n\) 的合法括号序列的个数，递推式如下：

\[C_0 = 1, C_i = \sum \limits_{j=0}^{i-1} C_j \cdot C_{i-j-1}. \]

其意义为枚举与最后一个右括号匹配的左括号的位置，从而将该括号序列拆成两个更小的括号序列。
假设对于一个长度为 \(2i\) 的合法括号序列，其与最后一个右括号匹配的左括号在第 \(2j+1\) 位，那么这个序列被拆成长度分别是 \(2j\) 和 \(2(i-j-1)\) 的子序列（后者被最后一个右括号和与其匹配的左括号套着，所以长度有 \(-1\)）。利用乘法原理，该情况方案数为 \(C_j \cdot C_{i-j-1}.\)

7 - 8 月正睿集训

非常刺激的 30 天。人类智慧已经汇聚在 ZROI Series 里了。8 月下旬回来后的小测，结题报告在 9 月份进行总结。

学习笔记到这里就结束了~ 九月份之后的笔记，可以去看魔鬼冲刺学习笔记哦~

posted @ 2023-06-12 16:08 二两碘酊阅读(236) 评论(1) 编辑收藏举报

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Michael Wong - 二两碘酊

从 LaTeX 到 C++，从平面设计与摄影构图到视频剪辑与电影艺术，钟爱各类视听逻辑美学与计算机艺术的热血高中少年

停课后学习笔记

5.12 周五 - 线段树

P4243 [JSOI2009] 等差数列

5.13 周六 - 分治浅做

1. Sand Fortress

2. Abracadabra

3. P2218 [HAOI2007] 覆盖问题

4. Empty Rectangles

5.15 周一 - 树剖

P4315 月下“毛景树”

5.19 周五 - 线段树进阶

TTM - To the moon

P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

5.20 周六 - 线段树分裂

P5494 【模板】线段树分裂

Distinctification

5.22 周一 - 博弈论

[省选联考 2023] 过河卒

5.25 周三 - 迭代加深搜索

P1763 埃及分数

5.26 周五 - 树的直径

P3304 [SDOI2013]直径

5.29 周一 - 分治

平面最近点对（加强加强版）

6.4 周日 - 欧拉回路

海尔霍尔泽正确性检验 - Hierholzer

6.11 周日 - 可持久化数据结构

【模板】可持久化文艺平衡树

6.12 周一 - 偏序 / cdq 分治

1. 二维偏序与树状数组

2. 三维偏序与 cdq 分治

6.13 周二 - cdq 分治

P4755 Beautiful Pair

6.14 周三起 - 网络流开机

6.28 周三 - 卡特兰数

7 - 8 月正睿集训

公告

从 LaTeX 到 C++，从平面设计与摄影构图到视频剪辑与电影艺术，钟爱各类视听逻辑美学与计算机艺术的热血高中少年

5.12 周五 - 线段树

5.13 周六 - 分治浅做

1. Sand Fortress

2. Abracadabra

3. P2218 [HAOI2007] 覆盖问题

4. Empty Rectangles

5.15 周一 - 树剖

5.19 周五 - 线段树进阶

5.20 周六 - 线段树分裂

5.22 周一 - 博弈论

5.25 周三 - 迭代加深搜索

5.26 周五 - 树的直径

5.29 周一 - 分治

6.4 周日 - 欧拉回路

海尔霍尔泽正确性检验 - Hierholzer

6.11 周日 - 可持久化数据结构

6.12 周一 - 偏序 / cdq 分治

1. 二维偏序与树状数组

2. 三维偏序与 cdq 分治

6.13 周二 - cdq 分治

6.14 周三 起 - 网络流开机

6.28 周三 - 卡特兰数

7 - 8 月 正睿集训

公告

6.14 周三起 - 网络流开机

7 - 8 月正睿集训