Ignatius's puzzle

问题陈述：

　　HDOJ Problem - 1098

 

问题解析：

　　数学归纳法

　　f(1) = 18 + ka;

　　假设f(x) = 5*x^13+13*x^5+k*a*x 能被65整除 

　　f(x+1) = 5*(x+1)^13+13*(x+1)^5+k*a*(x+1)

　　根据二项式定理展开 (a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)*a^0*b^n

　　f(x+1) = 5 * (x^13 + C(13,1)*x^12 + C(13,2)*x^11 + ... + C(13,13)) + 13 * (x^5 + C(5,1)*x^4 + .. + C(5,5)) + k*x*a + ka;

　　补充：组合数性质 C(n, m) (m < n) 如果n为质数 则C(n, m)能被n整除。 

　　证明：

　　　　C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!) = (n-m+1) * (n-m+2) * ... * n / m!

　　　　m = 1: C(n, m) = n; C(n, m) % n = 0;

　　　　1 < m < n: 因为C(n, m)为整数，n为质数，m!为合数，n / m! 不是整数，进而(n-m+1) * (n-m+2) * ... * (n-1) / m!必为整数，所以C(n, m)能被n整除。

　　证毕。

　　化简 : f(x+1) = 5*x^13 + 5*13*g(x) + 5 + 13*x^5 + 13*5*h(x) + 13 + k*x*a + ka;

　　　　　　　　= f(x) + 65*g(x) + 65*h(x) + 18 + ka;

　　只要证明 18 + ka 能被65整除。

　　又因为(a + b) mod m = (a mod m + b mod n) mod m

　　所以只要证明 ka 能被 47 整除。

 

代码详解：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int k, a;
    while(cin >> k) {
        if(k % 65 == 0) {
            cout << "no" << endl;
            continue;
        }
        for(a=0; a<65; a++) {
            if(k*a % 65 == 47) {
                cout << a << endl;
                break;
            }
        }
        if(a == 65) {
            cout << "no" <<endl;
        }
    }
    return 0;
}

 

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