量子化学知识点3-厄米矩阵
文中内容来自Youtube上Trent M Parker的视频，略有补充，此处仅作为个人笔记。
空降：https://www.youtube.com/watch?v=4JLbuE9ColQ&list=PLm8ZSArAXicJpCTKOI0TvO0H6IGlJMu8-&index=31
厄米矩阵
注意区分一下厄米矩阵和酉变换矩阵的区别，两者是不一样的。前者对应实空间的对称阵的概念，后者对应实空间正交阵的概念，即:
\[Hermitian: \quad A^{\dagger}=A \rightarrow (A^{\dagger})_{ji} = A_{ij}\\
Unitary: \quad U^{\dagger}U=I \rightarrow U^{\dagger} = U ^{-1}
\]
我们重点来看厄米矩阵的两个性质：
- 特征值为实数
\[Ax_i=\lambda_ix_i\\
(Ax_i)^{\dagger} = (\lambda_ix_i)^{\dagger} \rightarrow x_i^{\dagger}A^{\dagger} = \lambda_i^{*}x_i^{\dagger}
\]
注意由于\(\lambda\)只是一个数，厄米共轭只需要取复数即可
分别将1式左乘以\(x_i^{\dagger}\)和2式右乘\(x_i\)，并考虑到\(A\)为厄米矩阵，式2中代入\(A^{\dagger}=A\)，得：
\[x_i^{\dagger}Ax_i = \lambda_ix_i^{\dagger}x_i\\
x_i^{\dagger}Ax_i = \lambda_i^{*}x_i^{\dagger}x_i
\]
因此可知：
\[\lambda_i=\lambda_i^*
\]
即特征值为实数
- 特征向量相互正交
\[Ax_i = \lambda_ix_i\\
Ax_j = \lambda_jx_j \rightarrow (Ax_j)^{\dagger} = (\lambda_jx_j)^{\dagger} \rightarrow x_j^{\dagger}A = \lambda_jx_j^{\dagger} \quad(A^{\dagger}= A,\lambda_j^*=\lambda_j)
\]
式1左乘\(x_j^{\dagger}\),式2右乘\(x_i\)有：
\[x_j^{\dagger}Ax_i = \lambda_ix_j^{\dagger}x_i\\
x_j^{\dagger}Ax_i = \lambda_jx_j^{\dagger}x_i
\]
因此有：
\[(\lambda_i - \lambda_j)x_j^{\dagger}x_i = 0
\]
由于特征值互不相同，因此：
\[x_j^{\dagger}x_i=0
\]
即特征向量相互正交
再回到厄米矩阵的定义：
\[A = A^{\dagger} \rightarrow A_{ij} = (A^{\dagger})_{ji}
\]
对于对角线元素，即有:
\[A_{ii}=A_{ii}^*
\]
也就是说，厄米矩阵的对角线元素一定为实数
我们再证明一个结论，酉变换不会改变厄米矩阵的特征值：
假设从\(\alpha\)基矢所在的空间经酉变换到\(i\)基矢所在的空间，其中变换前后厄米矩阵及其本征矢分别为\(A\)和\(A^{'}\)及\(\alpha\)和\(i\)，则有：
\[A\alpha = \lambda \alpha
\]
则经过酉变换，有：
\[A^{'} = U^{\dagger}AU\\
|i\rangle = I|i\rangle = \sum_{\alpha=1}^n|\alpha\rangle \langle \alpha|i\rangle = \sum_{\alpha=1}^n \langle i|\alpha\rangle^*
|\alpha\rangle = \sum_{\alpha=1}^n (U^{\dagger})_{i\alpha}|\alpha\rangle = U^{\dagger}|\alpha\rangle
\]
所以有：
\[A^{'}i=U^{\dagger}AUU^{\dagger}\alpha = U^{\dagger}A\alpha = U^{\dagger}\lambda\alpha = \lambda U^{\dagger}\alpha = \lambda i
\]
因此酉变换不会改变厄米矩阵的特征值得证
