文中内容来自Youtube上Trent M Parker的视频，略有补充，此处仅作为个人笔记。
空降:https://www.youtube.com/watch?v=zQMUmaTxrbw&list=PLm8ZSArAXicJpCTKOI0TvO0H6IGlJMu8-&index=29
酉变换
在量子力学中，我们可将波函数用不同的正交归一化的基矢展开，在前面的文章的补充知识中我们是用函数积分形式来理解的，这里再从矩阵的角度来理解。
假设有波函数\(\psi\)（任何函数也行）的两组基矢i和\(\alpha\)，就考虑对按照基矢\(\alpha\)展开：
\[|\psi\rangle = \sum_{n}c_n|\alpha_n\rangle
\]
那么\(c_n\)就是展开系数，相当于将波函数投影到新的基矢上时的投影
我们将上述方程左乘一个基矢然后积分：
\[\langle \alpha_m|\psi\rangle = \sum_n c_n\langle \alpha_m|\alpha_n\rangle = \sum_{n}c_n\delta_{mn} = c_m
\]
将上面\(m\)换成\(n\)代回原方程：
\[|\psi\rangle = \sum_{n}\langle \alpha_n|\psi\rangle|\alpha_n\rangle = \sum_{n}|\alpha_n\rangle\langle \alpha_n|\psi\rangle
\]
这里我们仔细观察上面的方程，内积\(\langle \alpha_n|\psi\rangle\)的值即展开系数\(c_n\),也就是波函数在基底\(\alpha_n\)上的投影大小，展开系数乘以基底\(\alpha_n\)也就表示原波函数映射到该基矢空间后的形式。
同时我们再看方程最右边，调整了乘积位置后，我们可以看到\(|\alpha_n\rangle\langle \alpha_n|\)可以理解为是一个算符，作用在波函数\(|\psi\rangle\)上，使得波函数映射到了新的基矢空间
\[\sum_{n}|\alpha_n\rangle\langle \alpha_n|\psi\rangle \rightarrow \sum_{n}\langle \alpha_n|\psi\rangle|\alpha_n\rangle
\]
而由于：
\[|\psi\rangle = \sum_{n}|\alpha_n\rangle\langle \alpha_n|\psi\rangle
\]
因此我们可知上述算符的矩阵形式一定为一个单位矩阵（Unity Matrix):
\[|\alpha_n\rangle\langle \alpha_n|=I
\]
上述方程被称作是完备性关系，简单的理解就是，如果要把一个函数变化到该基矢所在的空间，只要在前面乘以一个完备性条件即可
这样，对于不同的basis，我们就有两个条件：
（1）正交（归一）化
\[\langle i|i \rangle = \delta_{ij}\\
\langle \alpha|\beta \rangle = \delta_{\alpha\beta}
\]
（2）完备性条件（注意\sum符号下只是表示标号，而Dirac符号里的表示的基矢，为了形式简单写成一样的）
\[\sum_{i=1}^n |i\rangle\langle i|=1\\
\sum_{\alpha=1}^N |\alpha\rangle\langle\alpha|=1
\]
我们考虑将一套基矢用另一套基矢展开：(只要用完备性条件乘以原基矢即可)
\[|\alpha\rangle = I|\alpha\rangle = \sum_{i=1}^n|i\rangle\langle i|\alpha\rangle = \sum_{i=1}^n U_{i\alpha}|i\rangle
\]
上述方程中，\(U_{i\alpha}=\langle i|\alpha\rangle\)就是酉变换矩阵的一个元素，表示的是两空间的两个基矢的重叠积分（overlap）
反过来展开：
\[|i\rangle = I|i\rangle =\sum_{\alpha=1}^n |\alpha\rangle \langle \alpha|i\rangle = \sum_{\alpha=1}^n |\alpha\rangle \langle i|\alpha\rangle^* = \sum_{\alpha=1}^nU_{i\alpha}^*|\alpha\rangle = \sum_{\alpha=1}^n(U^{\dagger})_{\alpha i}|\alpha\rangle
\]
这里我们\(U^{\dagger}\)是\(U\)的共轭转置，即厄米共轭
代入归一化条件:
\[\delta_{ij} = \langle i| j\rangle = \sum_{\alpha=1}^n\langle i|\alpha\rangle \langle \alpha|i\rangle = \sum_{\alpha=1}^nU_{i\alpha}(U^{\dagger})_{\alpha j}=(UU^{\dagger})_{ij}
\]
因此我们有下面的酉变换矩阵的定义：
\[UU^{\dagger}=I\rightarrow U^{\dagger}=U^{-1}
\]
我们在来看一下算符在不同基底中的表示，假设有算符\(F\),则：(加入完备性条件，为了区分不同基底的表示，在两基底空间中分别用\(O\)和\(\Omega\)表示)
\[F|i\rangle = \sum_j|j\rangle\langle j |F|i\rangle =\sum_jF_{ji}|j\rangle = \sum_jO_{ji}|j\rangle\\
F|\alpha \rangle = \sum_{\beta}|\beta\rangle \langle \beta|F|\alpha\rangle = \sum_{\beta\alpha}F_{\beta\alpha} |\beta\rangle =\sum_{\beta\alpha}\Omega_{\beta\alpha} |\beta\rangle
\]
再看不同基底下的算符如何相互转换：
\[\Omega_{\alpha\beta} = \langle \alpha|F|\beta \rangle =\langle \alpha| IFI | \beta \beta\rangle = \sum_{ij}\langle \alpha|i\rangle\langle i|F|j\rangle \langle j|\beta\rangle = \sum_{ij}(U^{\dagger})_{\alpha i}F_{ij}U_{j\beta} = \sum_{ij}(U^{\dagger})_{\alpha i}O_{ij}U_{j\beta}
\]
因此有:
\[\Omega = U^{\dagger}OU
\]
上述即对算符进行酉变换（Unitary Transformation）
继而我们有其逆变换：(在方程左右两边分别乘以\(U\)和\(U^{\dagger}\))
\[U\Omega U^{\dagger} = UU^{\dagger}OUU^{\dagger}=O \rightarrow O = U\Omega U^{\dagger}
\]
