《男人八题》之—多重背包的单调队列优化与二进制优化

　　多重背包就是背包问题加了个次数每个物品可以选s次，很容易想到的代码就是在状态转换中再加一个循环从0到s，但这样大数据会超时，所以有了很多

优化方案。

　　二进制优化：

　　每个物品可以选的次数都是不同的，有一种想法是把这可以选s次的物品拆成s个物品，这样就只涉及选与不选，就简化成了01背包问题但还是会超时，因

为拆成了s个但其实没必要我们只需要拆成log2(n)个就可以了，转换成二进制，举个例子，比如说7，7的二进制是111，111以内的数都可以用100,10,1来表示，也就是十进制的1，2，4，但7是特殊情况或者比如说10，同样拆成1、2、4。1、2、4，可以表示7以内的数而我想表示10以内的书就只需要再加个3就可以了，dddd。

　　然后这样代码复杂度就不是O(n*v*s)而是O(n*v*log2(s))。

　　代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 2010;
int f[N],n,m;
struct good
{
    int w,v;
};

int main()
{
    cin>>n>>m;
    vector<good> Good;
    good tmp;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        for(int k = 1 ; k <= s ; k*=2 )
        {
            s-=k;
            Good.push_back({k*w,k*v});
        }
        if(s>0) Good.push_back({s*w,s*v});
    }
    for(auto t : Good)
        for(int j = m ; j >= t.v ; j--)
            f[j] = max(f[j] , f[j-t.v]+t.w );


    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;

}

　　单调队列优化：

　　这个巨难我看大佬解析看懂的，原解析在这

　　作者：lys
　　链接：https://www.acwing.com/solution/content/6500/
　　来源：AcWing

　　首先先从完全背包的思路出发dp[i][j] 表示将前 i 种物品放入容量为 j 的背包中所得到的最大价值dp[i][j] = max(不放入物品 i，放入1个物品 i，放入2个物品 i, ... , 放入k个物品 i)，这里 k 要满足：k <= s, j - k*v >= 0，不放物品  i = dp[i-1][j]，放k个物品 i = dp[i-1][j - k*v] + k*w，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v] + w, dp[i-1][j-2*v] + 2*w,..., dp[i-1][j-k*v] + k*w)。

　　然后我们优化成了一维，适当的调整循环条件，我们可以重复利用dp数组来保存上一轮的信息，我们令 dp[j] 表示容量为j的情况下，获得的最大价值，那么，针对每一类物品 i ，我们都更新一下 dp[m] --> dp[0] 的值，最后 dp[m] 就是一个答案。
　　dp[m] = max(dp[m], dp[m-v] + w, dp[m-2*v] + 2*w, dp[m-3*v] + 3*w, ...)
　　接下来，我们把 dp[0] --> dp[m] 写成下面这种形式
　　dp[0], dp[v],   dp[2*v],   dp[3*v],   ... , dp[k*v]
　　dp[1], dp[v+1], dp[2*v+1], dp[3*v+1], ... , dp[k*v+1]
　　dp[2], dp[v+2], dp[2*v+2], dp[3*v+2], ... , dp[k*v+2]
　　...
　　dp[j], dp[v+j], dp[2*v+j], dp[3*v+j], ... , dp[k*v+j]

　　因为k*v+j一定可以等于m，所以很容易想到可以把这些分为j个类，每一类中的值，都是在同类之间转换得到的，也就是说，dp[k*v+j] 只依赖于 { dp[j], dp[v+j], dp[2*v+j], dp[3*v+j], ... , dp[k*v+j] }，因为我们需要的是{ dp[j], dp[v+j], dp[2*v+j], dp[3*v+j], ... , dp[k*v+j] } 中的最大值，可以通过维护一个单调队列来得到结果。这样的话，问题就变成了 j 个单调队列的问题。所以，我们可以得到：
　　dp[j]    =     dp[j]
　　dp[j+v]  = max(dp[j] +  w,  dp[j+v])
　　dp[j+2v] = max(dp[j] + 2w,  dp[j+v] +  w, dp[j+2v])
　　dp[j+3v] = max(dp[j] + 3w,  dp[j+v] + 2w, dp[j+2v] + w, dp[j+3v])
　　...
　　但是，这个队列中前面的数，每次都会增加一个 w ，所以我们需要做一些转换
　　dp[j]    =     dp[j]
　　dp[j+v]  = max(dp[j], dp[j+v] - w) + w
　　dp[j+2v] = max(dp[j], dp[j+v] - w, dp[j+2v] - 2w) + 2w
　　dp[j+3v] = max(dp[j], dp[j+v] - w, dp[j+2v] - 2w, dp[j+3v] - 3w) + 3w
　　...
　　这样，每次入队的值是 dp[j+k*v] - k*w

　　key:

　　维护队列元素的个数，如果不能继续入队，弹出队头元素
　　维护队列的单调性，即：尾值 >= dp[j + k*v] - k*w

　　代码：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 20010;

int dp[N], pre[N], q[N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        memcpy(pre, dp, sizeof(dp));
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = 0; j < v; ++j) {
            int head = 0, tail = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v) {

                if (head <= tail && k - s*v > q[head])
                    ++head;

                while (head <= tail && pre[q[tail]] - (q[tail] - j)/v * w <= pre[k] - (k - j)/v * w)
                    --tail;

                if (head <= tail)
                    dp[k] = max(dp[k], pre[q[head]] + (k - q[head])/v * w);

                q[++tail] = k;
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}