HDOJ 1114 Piggy-Bank 【动态规划 完全背包】

题目链接：

　　http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=17679

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题目描述：

　　一个原重量为e，装满重量为f的小猪存钱罐，有n种硬币，每种货币有value和weight，每种硬币可以无限次选用

　　要求输出使重量符合要求的，价值最小的组合方式，

　　如果没有符合重量要求的硬币组合，输出impossible

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问题模型：

　　完全背包，只不过因为要求价值最小，所以将状态方程的max换成min

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初始化的细节问题：

　　我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。

　　一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

　　如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

　　如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

　　为什么呢？可以这样理解：

　　初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。

　　如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。

　　如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

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完全背包：

　　有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

　　这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。

　　也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。

　　如果仍然按照解 01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

o(vn)的算法：

　　这个算法使用一维数组，先看伪代码：

for i=1..N

    for v=0..V

        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

　　你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。

　　为什么这样一改就可行呢？

　　首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1] [v-c[i]]递推而来。

　　换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。

　　而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

这个算法也可以以另外的思路得出。

　　将基本思路中求解f[i][v-c[i]]的状态转移方程显式地写出来，代入原方程中：

　　f[i][v]=f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]

　　f[i][v-c[i]]=f[i-1][v-c[i]-(k-1)*c[i]]+(k-1)*w[i]

　　            =f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] - w[i]

　　所以，

f[i][v]=f[i][v-c[i]]+w[i]

　　将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码：

procedure CompletePack(cost,weight)

    for v=cost..V

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXL = 500+5;
int t, e, f, v, n, value[MAXL], weight[MAXL], dp[10005];
int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

int main(){
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        scanf("%d%d", &e, &f);
        v = f-e;
        scanf("%d", &n);
        //---初始化
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= v; i++) dp[i] = INF;
        //---
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d", &value[i], &weight[i]);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = weight[i]; j <= v; j++){
                    dp[j] = min(dp[j-weight[i]]+value[i], dp[j]);
            }
        }
        if(dp[v] == INF) printf("This is impossible.\n");
        else printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", dp[v]);
    }

    return 0;
}