HNOI 2015 亚瑟王 概率期望DP

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Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂

亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已
经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。 
 
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,   玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,     排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因
素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。
在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 
 
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 
 
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 
 
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 
2.1将其以 pi的概率发动技能。 
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,
 
考虑下一张卡牌。 
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。 

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。 

接下来一共 T 组数据。 
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。 
接下来 n行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第i 行的两个
数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动造成的伤害(整数)。
保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。 

Output

 对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过
10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。
建议输出10 位小数。 

Sample Input

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

HINT

 一共有 13 种可能的情况: 


1.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.15,伤害为5。 

2.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.315,伤害为3。 

3.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.035,伤害为2。 

4.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.075,伤害为5。 

5.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.0675,伤害为4。 

6.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.0075,伤害为3。 

7.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.1575,伤害为3。 

8.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.04725,伤害为4。 

9.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.11025,伤害为1。 

10.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.0175,伤害为2。 

11.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.00525,伤害为3。 

12.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.011025,伤害为1。 

13.  第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 

概率为 0.001225,伤害为0。 

造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。 

 

对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < pi < 1, 0 <= di <= 1000。  

除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 

请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 

 

 Analysis

f[i][j]表示第i张卡牌拥有j次机会的概率,注意它的意思是第i张卡牌就算在第j次机会之前就发动技能,

它一样拥有j次机会(即轮到它不管怎么样都算一次机会)

那么,就很好转移了:

f[i][j] = f[i-1][j] * Pow(1-pi-1, j) + f[i-1][j+1] * (1 - Pow(1-pi-1,j+1)) 

加号的前部分表示第i-1张卡牌没有抓住j次机会的任何一种,那么第i张卡牌就拥有j次机会啦

加号的后部分表示第i-1张卡牌有抓住j+1次机会的任何一种,那么第i张卡牌也拥有j次机会啦

那么最后的答案就是 $f[i][j] * d[i] * (1 - Pow(1-pi, j)) $

 

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define For(i, a, b) for(int i = (a); i <= (int)(b); ++i)
#define N 230
 
double p[N], f[N][N];
int d[N];
 
double Pow(double a, int anum){
    double ret = 1.0;
    while(anum){
        if(anum&1) ret *= a;
        a *= a; anum >>= 1;
    }
    return ret;
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
 
    int T;
 
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n, r;
        scanf("%d%d", &n, &r);
        For(i, 1, n) scanf("%lf%d", &p[i], &d[i]);
         
        Set(f, 0); f[0][r] = 1.0;
        For(i, 1, n) For(j, 0, r)
          f[i][j] = f[i-1][j]*Pow(1-p[i-1], j) + f[i-1][j+1]*(1-Pow(1-p[i-1], j+1));
     
        double ans = 0.0;
        For(i, 1, n) For(j, 1, r) ans += f[i][j]*(double)d[i]*(1-Pow(1-p[i], j));
        printf("%.10lf\n", ans);
    }
 
    return 0;
}

 

 

posted @ 2017-03-31 11:12  Miao_miao  阅读(210)  评论(5编辑  收藏  举报