ZJOI 2008 瞭望塔 三分法

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Descirption：
致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。
我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示

我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。
请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

Input：
输入文件tower.in第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

Output：
输出文件tower.out仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

Analysis：
首先，我们发现把每段轮廓线看作一条直线，那么所有直线左边的公共部分就是瞭望塔最终应该在的位置范围，样例如图：

想到这里，半平面交可做了。

接下来，考虑两个相邻的端点x, x+1，可以发现它们之间的那一段答案是单峰的，所以用三分法解决即可。
单峰性的证明：
当我们讨论瞭望塔的位置在 x 和 x+1 之间时 ， 这一段区间上方的瞭望塔区间一定为一个下凸的单峰，可以分类讨论x至x+1的情况，可以发现不管是上升下降还是平的，答案都是一个单峰

（稍严谨的证明：当我们讨论瞭望塔的位置在 i 和 i+1 之间时 ， 其他的直线可以组成一个下凸的半平面 ， 将整个图形旋转使得直线水平 ， 可知下凸的半平面仍保持其性质。 那么瞭望塔的高度在此线段上保持单峰性）

Toughts：
三分真神奇。。
但是。还是要码一码半平面交的。。毕竟。。没写过。。

Source：

//miaomiao 2017.2.8
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define For(i, a, b) for(int i = (a); i <= (int)(b); i++)
#define N (300+5)
#define eps 1e-9

int n;
double x[N], y[N], ret, len;

inline double calc(int i, double xi){
    ret = 0, len = y[i]+(y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i])*(xi-x[i]);

    For(j, 1, n){
        if(i==j || i+1==j) continue;
        int a = j+(j<i? 1: -1);
        double h = y[j]+(y[a]-y[j])/(x[a]-x[j])*(xi-x[j]);
        ret = max(ret, h-len);
    }
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    For(i, 1, n) scanf("%lf", &x[i]); For(i, 1, n) scanf("%lf", &y[i]);

    double ans = 1.0*(1e20);
    For(i, 1, n-1){
        double lm, rm, mid, L = x[i], R = x[i+1];
        while(fabs(R-L) > eps){
            mid = (R-L)/3.0; lm = L+mid, rm = R-mid;

            if(calc(i, lm) > calc(i, rm)) L = lm;
            else R = rm;
        }
        ans = min(ans, calc(i, L));
    }

    if(n == 1) ans = 0;
    printf("%.3lf\n", ans);

    return 0;
}