前缀和

前缀和

概念

前缀和算法是一种用于计算数组某个区间所有数字之和的算法

一维数组的前缀和

主要思想：将数组的第0个位置的数字置为0，从数组下标为1的位置开始输入数据，并同时计算前n个数字的总和。
注意：数组的第0个位置被置为0，对计算结果不造成影响，因此接下来的描述不包括数组的第0个位置，只包括数组下标从1开始的数据。

s[i]：前i个数字的和
a[i]：数组里第i个数字

s[i]公式：s[i]=s[i-1]+a[i]

推导过程：

L：数组第L个数字
R：数组第R个数字
R的位置是在L后面的
指定区间L到R的所有数字总和公式=s[R]-s[L-1]

推导过程：

#include<stdio.h>
const int N=100001;

int a[N];
int s[N];
int main()
{
int n,m,l,r;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    scanf("%d",&a[i]);//(1)
    s[i]=s[i-1]+a[i];//(2)
}

while(m--)
{
    scanf("%d %d",&l,&r);
    printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);//(3)
}
}

(1)将数据输入进数组
(2)利用公式求前n个数字的总和
(3)利用公式计算指定区间的数字总和

二维数组的前缀和

注意：二维数组的前缀和有一个误区，和一维数组的前缀和不同
如图：
左边原数组，右边其前缀和数组

其中b[2][2]的数字为5，其并不像一维数组的前缀和一样
b[2][2]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]+a[2][1]+a[2][2]
这个对于二维数组的前缀和是错误的

二维数组的前缀和是一个由x，y决定的空间，如b[2][2]应该是a数组这些空间的前缀和：如图：

主要思想：从数组第1行第1列的位置开始存储数据，第0行和第0列的位置都置为0，不进行使用。
注意：接下来的描述不包括第0行和第0列
a[i][j]：数组里第i行第j列的数字
s[i][j]：前i行，j列的所有数字之和

s[i][j]公式：s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]

推导过程：

指定区间a[x1][y1]-a[x2][y2]的数字总和
公式:指定区间和=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]
推导过程：

#include<stdio.h>
const int N=1001;

int a[N][N];
int s[N][N];
int main(){
int n,m,q;

scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++){
    scanf("%d",&a[i][j]);//(1)
    s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];//(2)
    }
   
}
while(q--){
    int x1,y1,x2,y2;
    scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
    printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);//(3)
}
return 0;

}

(1)将数据输入进n行m列的数组
(2)利用公式求i行，j列的数字总和
(3)利用公式计算指定区间的数字总和