bzoj 2693: jzptab 线性筛积性函数

2693: jzptab

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Description

 

Input

一个正整数T表示数据组数

接下来T行 每行两个正整数 表示N、M

 

Output

T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果

 

Sample Input

1

4 5

Sample Output

122

HINT
T <= 10000

N, M<=10000000

 

　　重新学习了一下积性函数方式推导莫比乌斯反演系列题目，感觉求sigma(gcd(x,y))、sigma(gcd(x,y)==1)用积性函数的性质推导应该还算是简单，但是求sigma(lcm(x,y))用积性函数就非常恶心了，具体推法详见jzp讲稿：

　传送门：http://wenku.baidu.com/link?url=_glgC9AsqkzOGXSe66vrbLWwf9mr_HZujxaAszME0pCbVtRdcTyhqODy801-tgQdoArjJYYwQGwpQ7E4mdA61OsRYO3qciEfusRQ51JPUCy

　　这道题是bzoj 2154《 Crash的数字表格》的多组询问版，如果我没记错的话，那道题我用的是O(n)求sigma(lcm(x,y))，但是jzp讲的神奇的方法可以O(n)预处理，O(sqrt(n))询问。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXP 10010000
#define MAXN 10010000
#define MOD 100000009
typedef long long qword;
bool pflag[MAXP];
int prime[MAXP],topp=-1;
int phi[MAXP];
int gg[MAXP];
qword gs[MAXP];
int mu[MAXP];
void init()
{
        phi[1]=1;
        gg[1]=1;
        mu[1]=1;
        for (int i=2;i<MAXP;i++)
        {
                if (!pflag[i])
                {
                        prime[++topp]=i;
                        phi[i]=i-1;
                        gg[i]=1-i;
                        mu[i]=-1;
                }
                for (int j=0;j<=topp && i*prime[j]<MAXP;j++)
                {
                        pflag[i*prime[j]]=true;
                        if (i%prime[j]==0)
                        {
                                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                                gg[i*prime[j]]=gg[i];
                                mu[i*prime[j]]=0;
                                break;
                        }
                        phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                        gg[i*prime[j]]=gg[i]*(1-prime[j]);
                        mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                }
        }
        for (int i=1;i<MAXP;i++)
                gs[i]=(gs[i-1]+(qword)gg[i]*i)%MOD;
        return ;
}
qword solve(int n,int m)
{
        qword res=0;
        int l=1;
        for (int i=1;i<=min(n,m);i=l)
        {
                l=min(n/(n/i),m/(m/i))+1;
                res=(res+((qword)(n/i)*(n/i+1)/2%MOD)%MOD*((qword)(m/i)*(m/i+1)/2%MOD)%MOD*(gs[l-1]-gs[i-1])%MOD)%MOD;
        }
        res=(res+MOD)%MOD;
        return res;
}

int main()
{
        freopen("input.txt","r",stdin);
        int n,m;
        int nn;
        init();
        scanf("%d",&nn);
        while (nn--)
        {
                scanf("%d%d",&n,&m);
                printf("%lld\n",solve(n,m));
        }
}