0x01-1 原码 反码 补码 概念 原理 详解

转自：https://www.cnblogs.com/baiqiantao/p/7442907.html

$\sum \sqrt {a_i}$

一些基本概念

本篇文章讲解了计算机的原码、反码和补码，并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码，以及更进一步的论证了为何可以用反码、补码的加法计算原码的减法。论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正！以下讨论的都以计算机字长8位讨论（现在使用的计算机字长一般为32位，64位）

 

机器数和符号位

在学习原码、反码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念。

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。

机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0、负数为1。

比如，十进制中的数 +3 ，如果计算机字长为8位，转换成二进制就是0000_0011。如果是 -3 ，就是 1000_0011(原码) 。

那么，这里的 0000_0011 和 1000_0011(原码) 就是机器数。

 

 

真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 1000_0011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000_0001的真值 = +000_0001 = +1，1000_0001的真值 = –000_0001 = –1

 

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在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码、反码和补码的概念。

对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储，原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

原码

如果机器字长为n，那么一个数的原码就是用一个n位的二进制数，其中最高位为符号位：正数为0，负数为1。剩下的n-1位表示该数的绝对值。

例如：

 

X=+101011 , [X]原= 0010_1011
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 

 

位数不够的用0补全。

PS：正数的原、反、补码都一样，0的原码跟反码都有两个，因为这里0被分为+0和-0。

另一种描述：

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如如果是8位二进制：

 

[+1]原 = 0000_0001
[-1]原 = 1000_0001

 

因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：

[1111_1111 , 0111_1111]  即 [-127 , 127] 

注意不是 [-128 , 127] 或 [-128 , 128] 

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

反码

反码的表示方法是：

正数的反码是其本身。负数的反码是在其原码的基础上，【符号位不变】，其余各个位【取反】。

 

[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反
[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反

 

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。

补码

补码的表示方法是：

正数的补码就是其本身。负数的补码是在其原码的基础上，【符号位不变】，其余各位取反，最后+1，即【取反+1】。

[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反 = [0000_0001]补
[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反 = [1111_1111]补

 

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的，通常也需要转换成原码再计算其数值。

 

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以上概念其实很好理解，就是一些规则而已，但问题是，为什么要制定这些规则呢？下面我们就来探讨探讨这个问题。

为何要使用原码、反码和补码

现在我们知道了，计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同，所以不需要过多解释。但是对于负数，其原码、反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢?

 

首先，希望能用符号位代替减法...

首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位选择对真值区域的加减。

但是对于计算机，加减乘数是最最最最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别"符号位"会让计算机的基础电路设计变得复杂，于是，人们想出了将符号位也参与运算的方法。

我们知道，根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1)，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

 

但是，用原码计算时有一些问题...

于是人们就开始探索将符号位参与运算并且只保留加法的方法。

首先来看原码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [1000_0010]原 = -2 

 

如果用原码表示, 让符号位也参与计算，显然对于减法来说结果是不正确的。

这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

PS：
对于上一句话，白哥要打一个大大的问号？虽说包括Java、C在内的很多编程语言，在设计整型时，其定义都是：
【8/16/32/64-bit signed two's complement integer】
即：
【8/16/32/64位有符号二进制补码整数】
但也不能说计算机内部不是采用原码表示的吧？

 

 

于是，反码出现了，但还有问题...

为了解决原码做减法的问题，出现了反码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原= [0000_0001]反 + [1111_1110]反 = [1111_1111]反 
= [1000_0000]原 = -0

 

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000_0000]_原和[1000_0000]_原两个编码表示0。

 

补码解决了遗留的这个问题..

于是补码出现了，它解决了0的符号以及两个编码的问题：

1-1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [0000_0001]补 + [1111_1111]补 = [0000_0000]补
=[0000_0000]原 = 0

 

这样0用[0000_0000]表示， 而以前出现问题的-0则不存在了。

 

并且，还有意外收获..

除此之外，还可以用 [1000_0000]_补 表示-128：

(-1) + (-127) = [1000_0001]原 + [1111_1111]原 = [1111_1111]补 + [1000_0001]补 = [1000_0000]补

 

-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中， [1000_0000]_补 就代表-128。

注意，-128并没有原码和反码表示。

 

使用补码不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数，这就是为什么8位二进制使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127]，而使用补码表示的范围为 [-128, 127] 的原因。

因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型可以表示范围是  [-2^31, 2^31-1] ，因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

 

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从数学角度深究原码、反码、补码

警告：以下因为涉及到数学原理性的问题，个人不保证绝对正确，且极有可能出现一些原理性错误，请谨慎对待！

 

计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢？

将钟表想象成是一个1位的12进制数，如果当前时间是6点，我希望将时间设置成4点，需要怎么做呢？我们可以：

 

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4 
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4 
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

 

2,3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余数是4。

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代！

现在的焦点就落在了如何用一个正数来替代一个负数。

上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律。但是数学是严谨的，不能靠感觉。

首先介绍一个数学中相关的概念：同余

同余的概念

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明：

 

4 mod 12 = 4 
16 mod 12 = 4 
28 mod 12 = 4

 

所以4, 16, 28关于模 12 同余。

负数取模的计算

正数进行mod运算是很简单的，但是负数呢？

下面是关于mod运算的数学定义：

上面是截图，下面是使用"["和"]"替换上图的"取下界"符号：

x mod y = x - y [ x / y ]

 

上面公式的意思是:

x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界

以 -3 mod 2 举例:

 

-3 mod 2
= -3 - 2*[-3/2] 
= -3 - 2*[-1.5] 
= -3 - 2*(-2)
= -3 + 4
= 1

 

所以：

 

(-2) mod 12 = 12-2 =10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8 
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 

 

 

数学证明

再回到时钟的问题上：

 

回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时

 

注意这里发现的规律！

结合上面学到的同余的概念，实际上:

 

(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10

 

-2与10是同余的

 

(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8

 

-4与8是同余的

距离成功越来越近了，要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理：

反身性：

a ≡ a (mod m) 

 

这个定理是很显而易见的。

 

线性运算定理：

 

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)

 

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm 

 

所以：

 

7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

 

现在我们为一个负数找到了它的正数同余数，但是并不是 7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)，即计算结果的余数相等。

 

接下来回到二进制的问题上，看一下：2-1=1的问题。

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

 

先到这一步，-1的反码表示是1111 1110，如果这里将[1111 1110]认为是原码，则[1111 1110]_原 = -126，这里将符号位除去，即认为是126。

发现有如下规律:

 

(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126 

 

即:

 

(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

 

2-1 与 2+126的余数结果是相同的！而这个余数，正式我们的期望的计算结果：2-1=1

 

所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个膜的同余数；而这个膜并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值！

这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值！

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。

 

既然反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢？为什么在反码的基础上加1还能得到正确的结果？

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

 

如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则：

[0111 1111]原 = 127

 

其实，在反码的基础上+1，只是相当于增加了膜的值：

 

(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127 
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

 

此时，表盘相当于每128个刻度转一轮，所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。

但是由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128, 127]