母函数（Generating function）详解 — TankyWoo
母函数（Generating function）详解 — TankyWoo
母函数（Generating function）详解
— Tanky Woo
本文转自：Tanky Woo博客：http://www.wutianqi.com/?p=596。
在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
母函数图(2)
母函数的定义
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
母函数图(3)
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
接着上面，接下来是第二种情况：
第二种：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
母函数图(4)
以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 // Author: Tanky Woo 4 // www.wutianqi.com 5 const int _max = 10001; 6 // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目 7 // c2是中间量，保存没一次的情况 8 int c1[_max], c2[_max]; 9 int main() 10 { //int n,i,j,k; 11 int nNum; // 12 int i, j, k; 13 14 while(cin >> nNum) 15 { 16 for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ① 17 { 18 c1[i] = 1; 19 c2[i] = 0; 20 } 21 for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ② 22 { 23 24 for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③ 25 for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④ 26 { 27 c2[j+k] += c1[j]; 28 } 29 for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤ 30 { 31 c1[j] = c2[j]; 32 c2[j] = 0; 33 } 34 } 35 cout << c1[nNum] << endl; 36 } 37 return 0; 38 }
我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误，大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。
咱们赶快趁热打铁，来几道题目：
（相应题目解析均在相应的代码里分析）
1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代码：http://www.wutianqi.com/?p=587
1 // Author: Tanky Woo 2 // HDOJ 1028 3 // Accepted 1398 15MS 204K 513 B C++ Tanky Woo 4 5 #include <iostream> 6 using namespace std; 7 8 int c1[130], c2[130]; 9 int main() 10 { 11 int nNum; 12 while(scanf("%d", &nNum) != EOF) 13 { 14 // 初始化 15 for(int i=0; i<=nNum; ++i) 16 { 17 c1[i] = 1; 18 c2[i] = 0; 19 } 20 for(int i=2; i<=nNum; ++i) 21 { 22 for(int j=0; j<=nNum; ++j) 23 for(int k=0; k+j<=nNum; k+=i) 24 c2[k+j] += c1[j]; 25 for(int j=0; j<=nNum; ++j) 26 { 27 c1[j] = c2[j]; 28 c2[j] = 0; 29 } 30 } 31 printf("%d\n", c1[nNum]); 32 } 33 return 0; 34 }
这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!
看看这题：
2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代码：http://www.wutianqi.com/?p=590
这题和HDOJ 1028基本没区别，也是套模板。
要说区别，就只需要改2个地方。
在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~ 代码：
1 // Author: Tanky Woo 2 // HDOJ 1398 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 6 int c1[310], c2[310]; 7 int main() 8 { 9 int nNum; 10 while(scanf("%d", &nNum) && nNum) 11 { 12 // 初始化 13 for(int i=0; i<=nNum; ++i) 14 { 15 c1[i] = 1; 16 c2[i] = 0; 17 } 18 for(int i=2; i*i<=nNum; ++i) 19 { 20 for(int j=0; j<=nNum; ++j) 21 for(int k=0; k+j<=nNum; k+=i*i) 22 c2[k+j] += c1[j]; 23 for(int j=0; j<=nNum; ++j) 24 { 25 c1[j] = c2[j]; 26 c2[j] = 0; 27 } 28 } 29 printf("%d\n", c1[nNum]); 30 } 31 return 0; 32 }
要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~
3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代码：http://www.wutianqi.com/?p=592
题目给出了3种类型，每种既不是1个，又不是无限个。怎么办？
思路：
首先初始化，其次一个个来，每次记的把能取到值的范围扩大。
不好表达，我先把代码贴出来，然后再结合代码解答：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 int c1[10000], c2[10000]; 5 int num[4]; 6 int main() 7 { 8 int nNum; 9 while(scanf("%d %d %d", &num[1], &num[2], &num[3]) && (num[1]||num[2]||num[3])) 10 { 11 int _max = num[1]*1+num[2]*2+num[3]*5; 12 // 初始化 13 for(int i=0; i<=_max; ++i) 14 { 15 c1[i] = 0; 16 c2[i] = 0; 17 } 18 for(int i=0; i<=num[1]; ++i) 19 c1[i] = 1; 20 for(int i=0; i<=num[1]; ++i) 21 for(int j=0; j<=num[2]*2; j+=2) 22 c2[j+i] += c1[i]; 23 for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1; ++i) // 看到范围的变化了吗？ 24 { 25 c1[i] = c2[i]; 26 c2[i] = 0; 27 } 28 29 for(int i=0; i<=num[1]*1+num[2]*2; ++i) 30 for(int j=0; j<=num[3]*5; j+=5) 31 c2[j+i] += c1[i]; 32 for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1+num[3]*5; ++i) 33 { 34 c1[i] = c2[i]; 35 c2[i] = 0; 36 } 37 int i; 38 39 for(i=0; i<=_max; ++i) 40 if(c1[i] == 0) 41 { 42 printf("%d\n", i); 43 break; 44 } 45 if(i == _max+1) 46 printf("%d\n", i); 47 } 48 return 0; 49 }
这题终于变化了一点，但是万变不离其中。
大家好好分析下，结合代码就会懂了。
4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代码：http://www.wutianqi.com/?p=594
这题和HDOJ 1085类似，范围也是动态变化的。
这题很好，看到初始化了吗？并不是++i,而是 i+=value[1]
理解透彻了就知道为何。
其余的和HDOJ 1085差不多。
1 // Author: Tanky Woo 2 // HDOJ 1171 3 4 5 #include <iostream> 6 using namespace std; 7 8 int c1[250010], c2[250010]; 9 int value[55]; 10 int amount[55]; 11 int main() 12 { 13 int nNum; 14 while(scanf("%d", &nNum) && nNum>0) 15 { 16 memset(value, 0, sizeof(value)); 17 memset(amount, 0, sizeof(amount)); 18 19 int sum = 0; 20 for(int i=1; i<=nNum; ++i) 21 { 22 scanf("%d %d", &value[i], &amount[i]); 23 sum += value[i]*amount[i]; 24 } 25 memset(c1, 0, sum*sizeof(c1[0])); 26 memset(c2, 0, sum*sizeof(c2[0])); 27 for(int i=0; i<=value[1]*amount[1]; i+=value[1]) 28 c1[i] = 1; 29 int len = value[1]*amount[1]; 30 for(int i=2; i<=nNum; ++i) 31 { 32 for(int j=0; j<=len; ++j) 33 for(int k=0; k<=value[i]*amount[i]; k+=value[i]) 34 { 35 c2[k+j] += c1[j]; 36 } 37 len += value[i]*amount[i]; 38 for(int j=0; j<=len; ++j) 39 { 40 c1[j] = c2[j]; 41 c2[j] = 0; 42 } 43 } 44 for(int i= sum/2; i>=0; --i) 45 if(c1[i] != 0) 46 { 47 printf("%d %d\n", sum-i, i); 48 break; 49 } 50 } 51 return 0; 52 }
还有一些题目，大家有时间自己做做：
HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
（原创文章，欢迎各位转载，但是请不要任意删除文章中链接，请自觉尊重文章版权，违法必究，谢谢合作。Tanky Woo原创, www.WuTianQi.com）
附：
1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。
如果大家有问题或者资料里的内容有错误，可以留言给出，博客:http://www.wutianqi.com/
Tanky Woo原创文章，转载请注明出处：http://www.wutianqi.com/?p=596。
