信号分析与处理——傅里叶级数

复习笔记——傅里叶级数 

下载下面的音频文件，听一个图中所示正弦信号的声音：

https://files.cnblogs.com/mhjerry/sig1.zip

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1、正弦信号的叠加

考虑信号x = A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t+pi/3)+A3*cos(w3*t+pi/2);

这个信号明显含有3个频率成分w1,w2,w3，幅度为A1,A2,A3.下面用matlab画图，三种频率分别为1 4 8。

t = 0:20/400:20;
w1=1;w2=4;w3=8;
A1 = input('Input the amplitude A1 for w1 = 1: ');
A2 = input('Input the amplitude A1 for w2 = 4: ');
A3 = input('Input the amplitude A1 for w3 = 8: ');
x = A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t+pi/3)+A3*cos(w3*t+pi/2);
clf
subplot(211),plot(t,x)
title('Sum of Sinusoids')
ylabel('x(t)')
xlabel('Time (sec)')
subplot(212),stem([w1 w2 w3],[A1 A2 A3])
v = [0 10 0 1.5*max([A1,A2,A3])];
axis(v);
ylabel('An')
xlabel('Frequency (rad/sec)')
axis;
subplot(111)

一种三个幅度都为1的情况：

Input the amplitude A1 for w1 = 1: 1
Input the amplitude A1 for w2 = 4: 1
Input the amplitude A1 for w3 = 8: 1 

再看一种情况，幅度分别为A1 =0.5 A2=1 A3=0从以上可以看出，信号的频率成分被清晰的表示了出来，正如在“傅里叶分析前言”中所述，傅里叶级数的展开对信号分析的重要意义！

下面直接给出傅里叶级数的概念（来自百度文库）：

给出实例：

clear
clc
n_max = [7 21 41];
N = length(n_max);
t = -1.1:.002:1.1;
omega_0 = 2*pi;
for k=1:N
    n =[];
    x = 0;
    for n=1:2:n_max(k)
        b_n = 4./(pi*n);        
        x = x + b_n*sin(omega_0*n*t);
    end
    
    subplot(N,1,k)
    plot(t,x,'linewidth',2);
    axis([-1.1 1.1 -1.5 1.5]);
    line([-1.1 1.1],[0 0],'color','r');
    line([0 0],[-1.5 1.5],'color','r');
    bt = strcat('最高谐波次数=',num2str(n_max(k)));
    title(bt);
end

% 画单边频谱 T =1
T = 1;
tau_T = 1/4;    % 占空比
omega_0 = 2*pi/T; % 基波频率
n0 = 1;
n1 = 15;
n = n0:n1;
F_n = (sin(tau_T*pi*n))./(n.*pi) .* exp(-j*tau_T*n.*pi);
F_n = 2*F_n;
Fn_max = max(abs(F_n));
Fn_min = min(abs(F_n));
subplot(211)
stem(n, abs(F_n));
axis([n0 n1 Fn_min-0.1 Fn_max+0.1]);
line([n0 n1], [ 0 0], 'color', 'r');
title('单边幅度频谱');
subplot(212)
stem(n, angle(F_n));
axis([n0 n1 -4 4]);
title('单边相位频谱');

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注意：实际上要想清楚的阐述傅里叶分析内容，是需要一定的数学内容的，包括高等数学，线性代数，泛函分析之类，尤其是对线性空间（Linear Spaces），内积（Inner Products）等之类数学问题的了解，但这里先不介绍这些数学内容，因为从我的学习经验来看，这些内容对初学信号的人而言，并不会加深他们的理解，反而会产生严重的负担。（这些内容在后续文章中会渐进的介绍）

　　本系列文章也是我个人的对本科学习信号的复习，在此希望自己能坚持下去！也希望广大网友多多批评指正。

 

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Reference：

 

Albert Boggess,Francis J.Narcowich.A First Coourse in Wavelets with Fourier Analysis,2nd ed.,Prentice hall

http://wenku.baidu.com/view/d303976925c52cc58bd6be7b.html

Edward W.Kamen,Bonnie S.Heck. Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and MATLAB Third Edition. Prentice Hall