拓展欧几里得理论基础（含一定证明）

首先有gcd(a,b)==gcd(b,a%b)这个复杂度最差也是log2的

因为大数对小数取余的时候 这个小数如果是比大数的一半大 那么取余完会比大数的一半大，如果小数比大数的一半小 那么取余完还是会比大数的一半大，所以最差也是log2的。

 

然后是ax+by=c有解的充要条件是c整除gcd(a,b)

这个证明如下:

 首先必要条件 因为a,b是整除gcd(a,b)的 所以ax+by(c)也肯定整除gcd(a,b)

充分条件是证明C若整除gcd(a,b),那么必然有整数x,y满足ax+by=C;

这个充分条件的证明可以化简为a/gcd(a,b)*x+b/gcd(a,b)*y=C/gcd(a,b),令p=a/gcd(a,b),q=b/gcd(a,b),m=C/gcd(a,b)  

则只要px+qy=1有整数解就可以了（这个有整数解，x,y再乘m就是原式的整数解）

p,q是互质的。

 

首先可知道对于p来说,p,2*p,.....q*p这一共有q个数（可以把它看成一个循环节）

这q个数对q取余的结果一定是互不相同的

用反证法 若有两个数对q取余的结果是相同的 这两个数的差一定既是p的倍数又是q的倍数

同时p,q的最小公倍数是p*q

而这两个数的差是小于p*q的所以推出矛盾

然后这q个数对q取余的结果一定互不相同

那么就是余数就是0-q-1，所以1是一定可以满足的。

 

　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　bx2+(a % b)y2=gcd(b,a % b);

　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a % b);

　则:ax1+by1=bx2+(a % b)y2;

　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

在找到ax+by=gcd(a, b)的一组解x0,y0后，应该是得到ax+by=c的一组解x1 = x0*(c/gcd(a,b)),y1 = y0*(c/gcd(a,b))，

ax+by = c的其他整数解满足：

x = x1 + b/gcd(a, b) * t
y = y1 - a/gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
x 、y就是 ax+by=c的所有整数解。

代码部分参考

代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

求解ax+by=c

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)
        return false;
    int k=c/d;
    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
    return true;
}