【线性代数】正交投影

       我们在初中就应该学过投影。那么什么是投影呢？形象点说，就是将你须要投影的东西上的每一点向你要投影的平面作垂线，垂线与平面的交点的集合就是你的投影。

注意这里我们的投影是向量的投影，几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。

相同的，我们从简单的二维投影来開始讨论。

   1、二维投影

上图表示的是，向量b在向量a上的投影。显然有例如以下表达式：

当中，P为投影矩阵，由P的表达式能够看出，它具有例如以下性质：

2、三维投影

       三维投影，就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样，如果是将b向量投影到平面上的p向量，则有表达式：

e是垂直与平面的向量。

因为p向量在平面上。则p向量能够由该平面的2个线性无关向量(正如。在xy平面的不论什么向量都能够由x轴，y轴表示)表示：

因为e垂直平面，则e向量垂直与平面中的随意向量。则有：

将上式化简求得x：

又由于p=Ax，Pb=p，则得到投影矩阵为：

由P的表达式能够看出，它具有例如以下性质：

上面的投影矩阵是通式。当投影在一维情况时，A即为直线上的随意一个向量a,投影矩阵为：

注意：一个数值的逆是它的倒数。

3、举例说明

以下以一个实例来说明：

如上图，如果我们要将向量b投影到水平面上。其投影为p，a1,a2为水平面的两个线性无关向量，它们的參数分别为：

那么A=[a1 a2]即：

由上面我们求得的通式，可得投影矩阵P:

知道投影矩阵P后。我们能够得到b在水平面上的投影p为：

显然，p与我们图中所看到的的结果同样。这里我们是以三维情况进行举例的，更高维情况。我们无法用图像来描写叙述，可是通式也是成立的。

三维图的matlab程序例如以下：

clear all
clc
 
a1=[1 0 0];
a2=[0 1 0];
b=[1 1 1];
p=[1 1 0];
e=b-p;
quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41174555

作者：nineheadedbird