最小公约数(欧几里得算法&&stein算法)
求最小公约数,最easy想到的是欧几里得算法,这个算法也是比較easy理解的,效率也是非常不错的。
也叫做辗转相除法。
对随意两个数a。b(a>b)。d=gcd(a。b),假设b不为零。那么gcd(a,b)=gcd(b。a%b)
证明: 令 r=a%b,即存在k,使得 a=b*k+r,那么r=a-b*k;显然r>=0, r%d=((a%d)-(b*k)%d)%d。由于a%d=b%d=0,所以r%d=0;
因此求gcd(a,b)能够转移到求gcd(b,a%b)。那么这就是个递归过程了。那什么时候递归结束呢,想一下,a。b不能为零,则能够把当b为零,作为递归的结束(当然还能够以其他结束条件),这就是求最大公约数的方法能够以其他结束条件),这就是求最大公约数的方法。
欧几里得递归版:
int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b); }非递归版:
int gcd(int a,int b)//euclid { int r; while(b!=0) { r=a%b; a=b; b=r; } return a; }
Stein算法
硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这种整数,计算两个数之间的模是非常easy的。
对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模。仅仅须要一个指令周期,而计算64位下面的整数模。也只是几个周期而已。
可是对于更大的素数,这种计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过 64位的整数的模。用户或许不得不採用类似于多位数除法手算过程中的试商法。这个过程不但复杂,并且消耗了非常多CPU时间。对于现代password算法。要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是,设计这种程序迫切希望可以抛弃除法和取模。
Stein算法由J. Stein于1961年提出,这种方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是。Stein算法仅仅有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到下面结论:
gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)。也就是最大公约数运算和倍乘运算能够交换。特殊的。当k=2时。说明两个偶数的最大公约数必定能被2整除
当k不能整除b。gcd(ka,b)=gcd(a,b),也就是约掉两个数中仅仅有当中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地,当k=2时,说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时,能够先将偶数除以2。
算法步骤:gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)。也就是最大公约数运算和倍乘运算能够交换。特殊的。当k=2时。说明两个偶数的最大公约数必定能被2整除
当k不能整除b。gcd(ka,b)=gcd(a,b),也就是约掉两个数中仅仅有当中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地,当k=2时,说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时,能够先将偶数除以2。
1、假设A=0。B是最大公约数。算法结束
2、假设B=0。A是最大公约数,算法结束
3、设置A1=A、B1=B和C1=1
4、假设An和Bn都是偶数。则An+1=An/2,Bn+1=Bn/2,Cn+1=Cn*2(注意,乘2仅仅要把整数左移一位就可以,除2仅仅要把整数右移一位就可以)
5、假设An是偶数,Bn不是偶数。则An+1=An/2,Bn+1=Bn,Cn+1=Cn(非常显然啦。2不是奇数的约数)
6、假设Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1=Bn/2,An+1=An,Cn+1=Cn(非常显然啦,2不是奇数的约数)
7、假设An和Bn都不是偶数,则An+1=|An-Bn|/2,Bn+1=min(An,Bn)。Cn+1=Cn
8、n加1,转1
比較好理解吧,实现起来也比較简单,效率也不比员算法差;
以下是实现的代码:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <algorithm> using namespace std; int stein(int a,int b) { if(a==0) return b; if(b==0) return a; if(a%2==0 && b%2==0) return 2*stein(a>>1,b>>1); else if(a%2==0) return stein(a>>1,b); else if(b%2==0) return stein(a,b>>1); else return stein(abs(a-b),min(a,b)); } int main() { int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); printf("%d\n",stein(a,b)); }