数据结构之图（术语、存储结构、遍历）
1、相关术语
顶点(Vertex)、弧(Arc)、弧头(初始点)、弧尾(终结点)、边(Edge)、有向图(Directed graph)、无向图(Undigraph)、全然图(Completed grapg)、有向全然图、稀疏图(Sparse graph)、稠密图(Dense graph)、权(weigh)、网(network)、无向网、有向网、子图(Subgraph)、邻接点(Adjacent)、度(Degree)、入度(Indegree)、出度(Outdegree)、路径(path)、回路(环)、简单路径、简单回路（简单环）、连通、连通图(Connected graph)、连通分量(Connected Component)、强连通图、强连通分量(有向图中的极大强连通子图)、生成树、极小连通子图、有向树。
无向图：G=(V, {E})、0≤边≤n(n-1)/2
有向图：G=(V, {A})、0≤弧≤n(n-1)
连通图：在无向图G中，假设图中随意两个顶点vi, vj属于V，vi和vj都是连通的，则图G是连通图。
连通分量：无向图中的极大连通子图
图例：
强连通图：在有向图G中，假设每一对顶点vi, vj属于V且vi不等于vj，从vi到vj与从vj到vi都存在路径，则图G是连通图。
强连通分量：有向图的极大强连通子图。
生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中所有顶点，但仅仅有足以构成一棵树的n-1条边。
假设在生成树上加入一条边，必然构成一个环：由于这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。
一个有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。假设一个图有n和顶点和小于n-1条的边，则是非连通图。假设多余n-1条边，则一定有环。但有n-1条边的图不一定是生成树。
2、存储结构
2.1邻接矩阵（数组表示法）
（无向图、有向图、无向网、有向网）
用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中数据元素（顶点）的信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中数据元素之间的关系（边或弧）的信息。
若图G是无向图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
下图就是一个无向图：
从上面能够看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相相应的元全都是相等的。
从这个矩阵中，非常easy知道图中的信息。
（1）要推断随意两顶点是否有边无边就非常easy了；
（2）要计算某个顶点的度，事实上就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求顶点vi的全部邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]=1的vj就是邻接点；
而有向图有入度和出度之分：顶点vi的入度为是第i列各数之和，顶点vi的出度是第i行的各数之和。
若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
wij表示(vi,vj)或<vi,vj>上的权值。无穷大表示一个计算机同意的、大于全部边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下图是一个有向网图和它的邻接矩阵：
注：这个边数组（邻接矩阵）的对角线应该是无穷大。
能够看出：
（1）第i行权重大于0、小于无穷的个数之和为顶点vi的出度(OD(vi))；
（2）第j列权重大于0、小于无穷的个数之和为顶点vj的入度(ID(vj))；
（3）第i行和第i列权重大于0、小于无穷的个数之和即为顶点vi的度（TD(vi) = OD(vi) + ID(vj)）。
使用邻接矩阵存储图并创建图的代码示比例如以下：
typedef char VertexType; //顶点类型,由用户自定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型,由用户自定义
#define MAX_VEX 20 //最大顶点数,由用户定义
#define INFINITY 65535 //代表无穷大
typedef struct
{
VertexType vexs[MAX_VEX]; //顶点数组
EdgeType arc[MAX_VEX][MAX_VEX]; //邻接矩阵
int vexNum, arcNum; //图中当前定点数和弧数
}Graph;
//定位顶点v在顶点数组的下标位置,不存在返回-1
int LocateVex(Graph *g, VertexType v)
{
int i = 0;
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
if (g->vexs[i] == v)
break;
}
if (i > g->vexNum)
{
fprintf(stderr,"no such vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//用邻接矩阵表示法，构造有/无向网g
void CreateUDN(Graph *g)
{
int i, j;
EdgeType w;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &(g->vexNum), &(g->arcNum));
//输入顶点
for(i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
printf("顶点%d:", i + 1);
g->vexs[i] = getchar();
while(g->vexs[i] == '\n')
{
g->vexs[i] = getchar();
}
}
getchar();
//初始化邻接矩阵
for (i = 0; i < g->arcNum; i++)
{
for (j = 0; j < g->arcNum; j++)
{
g->arc[i][j] = INFINITY;
}
}
printf("输入边(vi, vj)上的顶点vi vj和权值w\n");
for (i = 0; i < g->arcNum; i++)
{
char v1, v2;
//v1 = getchar();
//while (v1 == '\n')
//{
// v1 = getchar();
//}
//v2 = getchar();
//while (v2 == '\n')
//{
// v2 = getchar();
//}
//scanf("%d", &w);
scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);
getchar();
int m = LocateVex(g, v1);
int n = LocateVex(g, v2);
if (m == -1 || n == -1)
{
fprintf(stderr, "no this vertex!\n");
return;
}
g->arc[m][n] = w;
#if 0
g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //无向图的邻接矩阵对称
#endif
}
}
void PrintGrapth(Graph *g)
{
for (int i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < g->vexNum; j++)
{
printf("%6d", g->arc[i][j]);
}
putchar('\n');
}
}
int main()
{
Graph g;
CreateUDN(&g);
PrintGrapth(&g);
return 0;
}创建上文中的有向网图，程序执行演示样例截图：
创建无向网图，执行截图为：
n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n^2 + e·n) = O(n^2 + e·n)，当中第一个n是输入n个顶点；对邻接矩阵的初始化耗费了O(n^2)的时间；对每一条边，定位两个顶点的下标花费了O(n)，因此是O(e·n)。
2.2邻接表
（1）图中顶点用一个一维数组存储。当然顶点也能够用单链表来存储，只是，数组能够较easy的读取顶点的信息，更加方便。
（2）图中每一个顶点vi的全部邻接点构成一个线性表。因为邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
比如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。
使用邻接表储图并创建网图的代码示比例如以下：
typedef char VertexType; //顶点类型,由用户自定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型,由用户自定义
#define MAX_VEX 20 //最大顶点数,由用户定义
typedef struct EdgeNode //边表结点
{
int adjvex; //邻接点域，存储该顶点在顶点表中的下标
EdgeType weight; //网图权值
struct EdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode //顶点表结点
{
VertexType data; //顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge; //边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAX_VEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int vexNum, arcNum; //图中当前顶点数和弧数
}GraphList;
//定位顶点v在顶表的下标位置,不存在返回-1
int LocateVex(GraphList *g, VertexType v)
{
int i;
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
if (v == g->adjList[i].data )
break;
}
if (i > g->vexNum)
{
fprintf(stderr,"no this vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//用邻接表表示法，构造有/无向网g
void CreateGraph(GraphList *g)
{
int i, j;
EdgeType w;
EdgeNode *e, *f;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &(g->vexNum), &(g->arcNum));
//输入顶点
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
printf("顶点%d:", i);
g->adjList[i].data = getchar();
g->adjList[i].firstedge = NULL;
while(g->adjList[i].data == '\n')
{
g->adjList[i].data = getchar();
}
}
getchar();
//建立边表
printf("输入边(vi, vj)上的顶点vi vj和权值w\n");
for (i = 0; i < g->arcNum; i++)
{
char v1, v2;
scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);
getchar();
int m = LocateVex(g, v1);
int n = LocateVex(g, v2);
if (m == -1 || n == -1)
{
fprintf(stderr, "no this vertex!\n");
return;
}
//向内存申请空间，生成边表结点
e = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(e == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
return;
}
e->adjvex = n; //邻接序号为n
e->weight = w; //权值
e->next = g->adjList[m].firstedge; //单链表的头插法
g->adjList[m].firstedge = e;
#if 0
//由于是无向网图
f = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(e == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
return;
}
f->adjvex = m;
f->weight = w;
f->next = g->adjList[n].firstedge;
g->adjList[n].firstedge = f;
#endif
}
}
void PrintGrapth(GraphList *g)
{
int i;
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
printf("顶点%c ", g->adjList[i].data) ;
EdgeNode *e = g->adjList[i].firstedge;
while (e != NULL)
{
printf("—> <%c, %c> %d ", g->adjList[i].data, g->adjList[e->adjvex].data, e->weight);
e = e->next;
}
putchar('\n');
}
}int main()
{
GraphList g;
CreateGraph(&g);
PrintGrapth(&g);
return 0;
}
创建上文中的有向网图，程序执行演示样例截图：
若创建无向网图，执行截图为：
对于n个顶点e条边，本算法的时间复杂度是O(n + e·n)，由于输入的顶点信息不是顶点的编号，须要通过查找才可以得到顶点在图中的位置。假设输入的是顶点的编号，那么仅仅须要O(n+e)的时间复杂度。
对于有向图，邻接表能够方便的求某一个顶点的出度，可是不方便求入度，须要遍历整个边表。逆邻接表能够方便求入度，但不方便求出度。
另外关于图的存储结构还有：十字链表、邻接多重表。
3、图的遍历
图的遍历(Traversing Graph)：从图中某一顶点出发訪遍图中其余顶点，且使每个顶点仅被訪问一次。图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。
3.1深度优先搜索
深度优先搜索(Depth First Search)，简称DFS，其遍历类似树的前序遍历。
它从图中某个结点v出发，訪问此顶点，然后从v的未被訪问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中全部和v有路径相通的顶点都被訪问到。若图中尚有顶点未被訪问，则另选图中一个未曾被訪问的顶点作起始点，反复上述过程，直至图中的全部顶点都被訪问到为止。
邻接矩阵存储结构的DFS代码：
bool visited[MAX_VEX];//訪问标志数组
//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(Graph *g, int i)
{
int j;
visited[i] = true;
printf("%c ", g->vexs[i]); //打印顶点，也能够是其它操作
for (j = 0; j < g->vexNum; j++)
if (g->arc[i][j] > 0 && g->arc[i][j] != INFINITY && !visited[j])
DFS(g, j);
}
//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(Graph *g)
{
int i;
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
visited[i] = false; //初始化全部顶点状态都是未訪问过状态
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
if (!visited[i])
DFS(g, i); //对未訪问的顶点调用DFS.若是连通图，仅仅会运行一次
}邻接表存储结构的DFS代码：
//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(GraphList *g, int i)
{
EdgeNode *e;
visited[i] = true;
printf("%c ", g->adjList[i].data); //打印顶点，也能够是其它操作
for (e = g->adjList[i].firstedge; e != NULL; e = e->next)
if (!visited[e->adjvex])
DFS(g, e->adjvex);
}
//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphList *g)
{
int i;
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
visited[i] = false; //初始化全部顶点状态都是未訪问过状态
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
if (!visited[i])
DFS(g, i); //对未訪问的顶点调用DFS.若是连通图，仅仅会运行一次
}对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点须要訪问矩阵中的全部元素，由于须要O(n^2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。
3.2广度优先搜索
广度优先搜索(Breadth First Search)，简称DFS，其遍历类似树的层次遍历。
如果从图中某顶点v出发，在訪问了v之后依次訪问v的各个未曾訪问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次訪问它们的邻接点，并使“先被訪问的顶点的邻接点“先于“后被訪问的顶点的邻接点”被訪问，直至图中全部已被訪问的顶点的邻接点都被訪问到。若此时图中尚有顶点未被訪问，则选中图中一个未曾被訪问的顶点 作起始点，反复上述过程直至图中全部顶点都被訪问到为止。
//邻接矩阵的BFS
void BFSTraverse(Graph *g)
{
SqQueue q;
int v;
for (v = 0; v < g->vexNum; v++)
visited[v] = false;
InitQueue(q); //辅助队列
for (v = 0; v < g->vexNum; v++)
if (!visited[v]) //第v个顶点尚未訪问
{
visited[v] = true;
printf("%c ", g->vexs[v]); //打印顶点，也能够是其它操作
EnQueue(q, v); //第v个顶点入队列
while (!QueueEmpty(q))
{
int i;
DeQueue(q, i);
for (int j = 0; j < g->vexNum; j++)
//推断其它顶点若与当前顶点存在边且未訪问过
if (g->arc[i][j] > 0 && g->arc[i][j] != INFINITY && !visited[j])
{
visited[j] = true; //j为i尚未訪问过的邻接顶点
printf("%c ", g->vexs[j]);
EnQueue(q, j);
} //if
}//while
}//if
}//邻接表的BFS
void BFSTraverse(GraphList *g)
{
SqQueue q;
int i;
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
visited[i] = false;
InitQueue(q);
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
if (!visited[i])
{
visited[i] = true;
printf("%c ", g->adjList[i].data);
EnQueue(q, i);
while (!QueueEmpty(q))
{
int j;
DeQueue(q, j);
//找到当前顶点边表链表头指针
for (EdgeNode *e = g->adjList[j].firstedge; e != NULL; e = e->next)
if (!visited[e->adjvex])
{
visited[e->adjvex] = true;
printf("%c ", g->adjList[e->adjvex].data);
EnQueue(q, e->adjvex);
} //if
}//while
} //if
}图的深度优先遍历与广度优先遍历算法在时间复杂度上是一样的，不同之处只在于对顶点的訪问顺序不同。
參考：数据结构（C语言版）
本文所有測试代码：http://download.csdn.net/detail/u013071074/7445893
蓝色梦魔
2014.6.4，16：20
再參考：经典算法研究系列：四、教你通透彻底理解：BFS和DFS优先搜索算法（此博文系列作者写得很好）
