大数运算
大数运算
大数运算的实现方法主要有下面几种：
1) 用字符串表示大数。将大数用十进制字符数组表示，然后依照“竖式计算”的思想进行计算。这样的方法比較easy理解，可是计算效率非常低。
2) 将大数看成二进制流进行处理。使用各种位运算和逻辑操作来实现打算的运算。该方法设计复杂，可读性较差，并且难以调试。
3) 将大数表示成一个n进制数组。n的取值越大，数组的大小越小，这样能够缩短运算的时间及空间复杂度，提高算法的效率。在32位系统中，n能够取2^32，这时每一位的取值范围是0~0xffffffff。
以下就针对第3）种方法进行描写叙述。在RSA中涉及的大数通常都大于0，所以为了简化问题，如果运算过程中全部大数均都大于0的。
当n=2^32时，大数的每一位恰好是unsigned long 的范围，考虑到加法和乘法中进位时的溢出现象不好推断，能够选取long long型（gcc, 若是VC++则为__int64）。并且对于每一个大数，包括一个变量标志其符号，一个变量来表示其长度，一个数组来存储每一位的值。于是，能够用以下结构体表示一个大数：
typedef struct LargeNumber
{
bool tag; // 标志大数的符号 true 正数 false 负数
int length; // 记录大数的长度
long long bigInt[SIZE]; // 记录大数各位的值
LargeNumber( const bool& t=true,const int& len=0)
{
tag = t;
length = len;
for( int i=0; i<SIZE; ++i )
{
bigInt[i]= 0;
}
}
};
(一) 大数加法
如果在加法中两个操作数都是大于0的。依照“竖式计算”的思想，首先将两操作数低位对齐，然后从最低位開始按“位”相加，当“位”相加的结果大于2^32-1时做进位处理（carry=1），否则不进位（carry=0）。
符号演示：op1=ABCD， op2=EFG
A B C D
+ E F G
-------------------
H I J K L
初始化carry=0
当中，若D+G+carry>0xffffffff 则L=D+G+carry-0xffffffff-1, carry=1
否则L=D+G+carry， carry=0
依照上述方法计算K,J,I,H
比如：0x1 0x1 0x1 + 0xffffffff 0xffffffff; 初始carry=0
运算过程：
（1）0x1+0xffffffff+0>0xffffffff, 所以计算结果的最低位result.bigInt[0]=0x0,carry=1;
（2）0x1+0xffffffff+1>0xffffffff,所以result.bigInt[1]= 0x1+0xffffffff+1-0xffffffff-1=1,carry=1;
（3）0x1+1<0xffffffff,所以result.bigInt[2]=2;result.length=2;
终于结果为2 1 0
(二) 大数减法
为了简化计算，如果被减数总是不小于减数，这样计算的终于结果总是大于等于0。基本思路和大数加法基本一致，减法中可能须要借位，定义并初始借位变量borrow=0。显然，borrow要么等于0，要么等于1。
比如：0x1 0x1 0x1 – 0xffffffff 0xffffffff; 初始borrow=0;
计算过程：
(1) 0x1<0xfffffff+borrow,这时须要借位
result.bigInt[0]= 0xffffffff-(0xffffffff+0-0x1)+1=2,borrow=1;
(2)0x1<0xffffffff+borrow,于是
result.bigInt[1]= 0xffffffff-(0xffffffff+1-0x1)+1=1,borrow=1;
(3)0x1=0+borrow,于是result.bigInt[2]=0, borrow=0;
终于结果为：1 2
(三) 大数乘法
如果乘法的两个操作数均为正数。依照“竖式计算”的思想，大数的乘法能够借助大数的加法，用乘数的每一位乘以被乘数，然后将每一次的计算结果相加。在每位相乘的过程中依旧存在进位现象，并且此时进位不仅仅是1，还存在更大的数。
过程演示：
A B
* C D
---------------
E F G
+ H I J
----------------------------
K M N O P
当中 若B*D+carry>0xffffffff,
那么进位G=(B*D+carry)%0xffffffff，carry=(B*D+carry)/0xffffffff;
否则，G=B*D+carry,carry=0;
依照上述计算原则计算,F E J I H.并依照大数加法的计算方法计算P O N M K。
比如： 0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff 0xffffffff.
计算过程：
（1）0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff =0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff
（2）0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff =0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff, 因为这是乘数的第一位，所以结果“扩展一位”，变成0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff 0x0
（3）计算0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff + 0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff 0x0
（4）结果为1 0 0xffffffff 0xfffffffe 0xffffffff
(四)
大数除法
除法建立在乘法的基础上，循环搜索num
使得num*op1==op2.效率较低。
代码下载链接：http://shamohua.download.csdn.net/
里面还有字符串实现的代码。
