算法导论-平摊分析习题解

17.2-3 假设我们希望不仅能使一个计数器增值，也能使之复位至零(即，使其中所有的位都为0)。请说明如何将一个计数器实现为一个位数组，使得对一个初始为零的计数器，任一个包含n个INCREMENT和RESET操作的序列的时间都为O(n)。(提示：保持一个指针指向高位1)

　　解：如提示所言，保存一个指针指向高位1。规定把某一位设为1的操作收取4元的平摊费用，其中1元用来支付置位操作的实际代价，剩余3元作为存款。维护指针花费1元，当将该位翻转为0时，花费其中1元，置位花费1元。所以n个操作的序列时间至多为4n = O(n)。

 

17.3-7 设计一个数据结构来支持整数动态多重集合S上的下列两个操作： 

   INSERT(S, x) 将x插入到S中。

   DELETE-LARGER-HALF(S) 删除S中最大的ceil(|S|/2)个元素。

 解释如何实现这个数据结构，使得任意m个操作的序列在O(m)时间内运行，而且要在O(|S|)时间内输出S的元素。

       解：用无序数组即可实现该数据结构。在无序数组中INSERT(S,x)的时间为O(1)，DELETE-LARGER-HALF(S)，先用划分的方法找到S的中位数，然后删除最大的|S|/2个元素，时间为O(n)。可用记账法分析这个过程，插入一个元素收取3元费用，其中1元付给插入操作。删除操作每个元素付1元，然后将删除部分元素的余款分配到剩余的元素上。这样数组中每个元素始终有2元存款。所以任意m个操作序列可以在O(m)时间内运行。

 

17-1 使二叉查找动态化

　　解：1) 最坏情况下需要在每个数组中寻找相应的元素，因此时间复杂度是O(klgn) = O(lg²n)。

　　　　2) 最坏情况下n = 2ⁱ - 1，这时候插入一个元素需要合并所有k个数组中的元素，总的时间复杂度为O(n)。平摊分析：可使用记账法，每插入一个元素付k元，其中1元作为插入费用，剩余k-1元作为合并费用，平摊运行时间为O(klgn) = O(lgn)。

　　　　3) DELETE(x)

　　　　　 1. 找最小的j 是A_j 是满的，设y为A_j 中的最小元素_。时间O(lgn)。

　　　　　 2. 寻找x所在的数组A_{i ，}时间O(lgn)_。

　　　　　 3. 删除x，在A_i 的合适位置放置y,最坏情况下时间复杂度O(n)。

　　　　    4. 将A_i 分解为1， 2， 4……2^j-1 个元素的集合，分别插入到相应的数组。最坏情况下O(n)。

　　　　　所以DELETE(x) 时间复杂度为O(n)。