算法导论-数据结构的扩张习题解

14.1-7 说明如何在O(nlgn)的时间内，利用顺序统计树对大小为n的数组中的逆序对进行计数。

　　解：j的逆序对为[1, j]区间内大于j的元素的个数，这个个数与j的秩有关，且值为j - r[j]，这个值可以在O(lgn)时间内取得。故所有的数的逆序对可以在O(nlgn)时间内取得。

 

14.1-8 现有一个圆上的n条弦，每条弦都是按其端点来定义的。请给出一个能够在O(nlgn)时间内确定圆内相交弦的对数(例如，如果n条弦都是直径，它们相交与圆心，则正确的答案为C²_n)。假设任意两条弦都不会贡献端点。

　　解：1. 逆时针顺序给每条弦的端点赋值，大小顺序为[1, 2n]。

　　　　2. 给每条弦标记起始端点S_i和终止端点E_i，其中起始端点的值小于终止端点的值。

　　　　3. 逆时针构造顺序统计树。如果遇到起始端点S_i ，将它插到树中。遇到终止端点E_{i 。}计算S_i, E_i 之间端点的个数x，即为与弦(S_i,E_i)相交的弦的个数，x可通过r - rank[S_i]获得，r为当前树中节点的个数。然后从树中删除端点S_i, E_{i 。}这些操作可以在O(lgn)时间内完成。

 

14-2 Josephus 排列

　　解： a) 使用循环链表。用一个计数器i记录当前位置，遍历链表当i = m时，删除当前元素。然后令i = 1，继续遍历。直到剩下一个元素。时间复杂度O(mn) = O(n)。

　　　　 b) 使用顺序统计树，假设j为当前要删除的元素的秩，k为树中剩余元素的个数。最初令j = m，k = n。完成一次删除令k = k - 1; j = (j + m - 2) % k + 1。按照这个顺序删除树中第j个元素，直到剩下一个元素位置。建立顺序统计树的时间复杂度为O(nlgn)，删除一个元素的时间为O(lgn)，总的时间复杂度为O(nlgn)。