算法导论-红黑树习题解

13.2-4 证明：任何一棵含n个节点的二叉查找树，可以通过O(n)次旋转，转变成另一棵含n个节点的二叉查找树。

　　解：1. 任意一棵含n个节点的二叉查找树可以通过至多n-1次右旋操作变成一棵仅有右孩子的单链树(这可以通过对每个有左孩子的节点进行右旋来完成)。

　　　　2. 可以通过1中的反向操作将一个仅有右孩子的单链树变成一棵二叉查找树。

　　　　3. 通过步骤1， 2可以在2n-2步内将任意一棵含n个节点的二叉查找树转变成一棵含n个节点的二叉查找树。

 

13.3-6 说明如果红黑树的表示中不提供父指针的话，应当如何有效的实现RB-INSERT。

　　解：方法比较笨……如果不提供父指针的话，为旋转造成了麻烦。假设插入的节点是x，可以保存从根节点到x的所有节点的指针，这样就可以获得x的祖先的指针了。

 

　13-1 持久动态集合

　　解：a) insert: 插入关键字后，从根节点到k的所有节点都要变化。delete: 如果y仅有一个孩子，则y的所有祖先节点都要改变；如果y有两个孩子，其后继是z，则y和z的所有祖先节点都要改变。

　　　　b) 略

　　　　c) O(h), O(h)

　　　　d) 如果增加父节点域，则root的子节点所有父节点域都要改变，从而导致root的所有孩子节点都要复制，于是这些节点的孩子节点也要复制，……从而导致所有节点都要复制。时空要求为O(n)。

　　　　e) 使用上题中的方法可在O(1)时间内获得所有节点的父节点。然后插入、删除时间复杂度和红黑树相同。

 

13-2 红黑树上的连接操作

　　解：a) 黑高度增加的唯一方式是插入时黑色传到root且root原先为红色然后然后变为黑色。黑高度减少的唯一方式是额外的黑色传到root节点。因此可以在插入和删除过程中修改黑高度。当沿T下降时，遇到黑色顶点将黑高度减1即可得到各个节点的黑高度。

　　　　b) 在T₁ 中从root开始沿着每个节点的右子树寻找黑高度为bh[T₂]的黑节点y。

　　　　c) parent[x] = y; left[x] = left[y]; right[x] = root[T₂]

　　　　d) x应着为红色。恢复性质2), 4)的情况同case2, case3。

　　　　e) 略

　　　　f) b), d)时间均为O(lgn)，总时间为O(lgn)。

 

13-4 Treap

　　解：a) 对于关键字各不相同的二叉树，插入顺序决定树的形状。当优先级确定时，插入顺序确定，树的形状确定。

　　　　b) 随机构造的二叉查找树的期望高度是Θ(lgn)，由于优先级随机确定，所有二叉树的随机构造的。

　　　　c) 略

　　　　d) 插入关键字的时间为Θ(lgn)，为恢复最小堆的性质需要做旋转，旋转次数不超过树的高度Θ(lgn)。总体时间为Θ(lgn)。

　　　　e) C:左旋转的次数； D：右旋转的次数

　　　　f) 略

　　　　g) 假设k > i，则[i, k] 共有k - i + 1 个元素，优先级有(k-i+1)!种情况。z的取值为[i+1, k-1]，共k-i-1中取值。若要满足f)中条件，则x的优先级最低，y优先级高于所有z，即它们的优先级是确定的，剩余元素的优先级共有(k-i-1)!中情况。所以有Pr(X_i,k) = (k-i-1)!/(k-i+1)!。

　　　　h) 令j = k - i， 1/j(j+1) = 1/j - 1/(j+1)。

　　　　i) 略

　　　　j) E(C) + E(D) = 1 - 1/k + 1 - 1/(n-k+1) < 2