算法导论-单源最短路径习题解

24.1-5 设G=(V,E)为一带权有向图，其权函数w: E->R。请给出一个O(VE)时间的算法，对于每个顶点v 属于V，找出值δ*(v) = min{δ(u,v)}，u属于V。

　　解： 1. 对每个顶点，令d[v] = 0。(初始情况，如果没有负权边，则δ^*(v) = 0)

　　　　 2. 用Bellman-ford算法，计算d[v]，得d[v] = δ^*(v)。

　　　　简单证明：设δ_i(u,v)为从u到v边个数不超过i的路径的最小值。δ^*_i (v) = min{δ_i(u,v)}，u属于V。则有δ*(v) = δ^*_n-1(v)。可以数学归纳法证明d[v] <= δ^*_i(v)。显然d[v] <= δ^*₀(v) = 0。

              假设在Bellman-ford 算法前i次迭代中 d[v] <= δ^*_i(v) 成立，u为所有与v相邻的顶点。对第i+1次迭代，如果δ^*_i+1(v) = δ^*_i(v)，则d[v] <= δ^*_i(v)恒成立，否则在此轮中边[u,v]被松弛，所以有d[v] = min{d[u] + w[u,v]} <= min{δ^*_i(u) + w[u,v]} = δ^*_i+1(v)。 所以有d[v] <= δ^*_n-1(v)，又d[v]为两顶点间路径长，所以有d[v] = δ^*_n-1(v)。 

 

　　24.1-6 假定一加权有向图G=(V,E) 包含一负权回路。请给出一个能够列出此回路上的顶点的高效算法，并证明你的算法的正确性。

　　解：Bellman-ford 算法，如果发现d[v] > d[u] + w[u,v]，则点u,v处于一个负权回路中，此时可以通过寻找前驱顶点得到负权回路。时间复杂度O(VE)。

 

24.2-4 给出一个高效算法来统计有向无回路图中的全部路径数。分析所给出的算法。

　　解: 对图进行拓朴排序，然后按照拓朴排序的逆顺序计算N[u]，其中N[u] = sum{N[v]}, [u,v]是所有以u为出发点的边。然后计算sum{N[u]}, u属于V。时间复杂度O(V+E)。

 

24.4-5 试说明如何对Bellman-Ford算法做稍作修改，使其在解决关于n个未知量的m个不等式所定义的差分约束系统时，运行时间为O(nm)。

　　解：在约束图中，顶点v₀的入度为0，即d[v₀]不会发生变化，因此d[v₀] + w[v₀, v]也不会变化。在运行Bellman-Ford算法时，不用对边[v₀, v]进行松弛。 另外一种方法是不用引入顶点v₀及相应的边[v₀, v]，直接对个顶点令d[v] = 0(题24.4-7)。

 

　24-2 嵌套框

　　解：a) 略

　　　　b) 对两个嵌套框进行排序，时间O(dlgd)，如果(x₁, x₂, ……x_d)可以嵌套在(y₁, y₂,……y_d)，则有x_i < y_i 。比较可以在O(d)时间内完成。总时间为O(dlgd)

　　　　c) 构造一个图G=(V,E)，顶点为所有的B，如果B_i 可以嵌套在Bj 中，则有边(Bi, Bj)。显然图G是有向无回路图，则可以在O(V+E)时间内找到最长路径。由于|E| < |V|²  ，总的时间复杂度为O(ndlgd + dn²)。

 

　24-2 套汇问题

　　解： a) 此问题可转化为图问题。构造一个图G=(V,E)，其中顶点为c_i，任意两点间都有两条有向边(v_i, v_j), (v_j, v_i)。则有|V| = n, |E| = n(n-1)/2。从题目条件可得：

                    

                   因此可设边(c_i1,c_i2) 权值为-lgR[i₁, i₂] ，这样问题转化为在图中寻找负权回路的问题。可以现在图中添加一个新的顶点s, s指向所有入度为0的顶点，权值为0；然后以s为起点运行Bellman-Ford 算法，即可确定是否有负权回路。时间复杂度为O(n³)

　　       b) 寻找负权回路的所有顶点，题24.1-5。

 

24-3 关于单源最短路径的Gabow定标算法

　　解： a) 由于可能有回路，不能按照拓扑排序的顺序松弛，Bellman-Ford算法难以达到O(E)的时间复杂度。因此使用Dijkstra算法，但要采用较为复杂的数据结构。由于δ(s,v) <= |E|，初始化时，将d[v] 设为|E| + 1，用数组Q[0, ...|E|+1]实现最小优先级队列，每个元素为一个链表，链表Q[i]中所有元素的d值为i。然后设c为当前非空的最小链表的位置。这样可以在O(1)时间内执行EXTRACT-MIN(Q)，|E|次EXTRACT-MIN(Q) 操作可以在O(|E|)时间内完成；对于DECREASE-KEY操作，每当减小d[v]时，将顶点v移动到链表Q[d[v]]的第一个位置，这样一次DECREASE-KEY可以在O(1)时间内完成，|E|次DECREASE-KEYKE可以在O(|E|)时间内完成。总的时间复杂度为O(|E|)。

　　　　b) 由于w₁(u,v)要么为1，要么为0，所以有δ₁(s,v) <= |E|，所以可以在O(|E|)时间内计算δ₁(s,v)。

　　　　c) w_i = w >> 2^k-i, w_i-1 = w >> 2^k+1-i ，所以有w_i(u,v) = 2w_i-1(u,v)或 2w_i-1(u,v)+1。如果δ_i(s,v)路径和δ_i-1(s,v)路径相同则有 δ_i-1(s,v) <= δ_i(s,v)，如果路径不同，则必有 δ_i-1(s,v) < δ_i(s,v)。路径δ_i(s,v)最大边数为|V|-1，所以有δ_i(s,v) <= δ_i-1(s,v) + |V|-1。

　　　　d) 有三角不等式得：δ_i-1(s,v) <= δ_i-1(s,u) + w_i-1(u,v)，所以2δ_i-1(s,u) - 2δ_i-1(s,v) <= -2w_i-1(u,v)。所以有w_i(u,v) + 2δ_i-1(s,u) - 2δ_i-1(s,v) >= 0，又对任意的i有wi (u,v)是整数，所以

 ˆw_i(u,v)为非负整数。

　　　　e) 由引理25-1：重赋权不会改变最短路径知，ˆδ(s,v)和δ(s,v)的路径相同。ˆδ_i(s,v) = Σˆw_i(u,v) ，累加即可得出结论。

　　　　f) 题目中已经证明了……

 

24-6 双调最短路径

　　解：双调序列最多出现两次变化，即双调序列的形式为：一直递增；一直递减；递增，递减，递增；递减，递增，递减。由于单源最短路径都是双调序列，如果按照双调序列的顺序做releax，就能找到最短路径。所以可以做四遍releax操作，1、3这两次按照权值递增的顺序做releax；2、4按权值递减的顺序做releax，然后就可以得到最短路径。时间复杂度：排序需要O(|E|lg|E|)，四遍releax操作需要O(|E|)时间，初始化时间为O(|V|)，总时间为O(|E|lg|E| + |V|)。