欧皇限定のColorCoding

Color Coding 与最小权重k-path问题

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参考资料：

彩色编码技术的研究进展及应用
彩色编码技术的研究进展及应用-备用链接

https://blog.csdn.net/u010352695/article/details/40924019 （这篇博客曾经没有收费呢……）

以及来自同学的题解

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用途&适用

作为一种近似算法，主要用于解决图论中的k-path问题。

近似算法

指一些不那么严谨的算法，它们通常与NP-HARD问题相关。

因为这些问题不存在精确的多项式时间算法，所以会近似地使用多项式时间复杂度，但答案会在最优解的一定范围内浮动。

评估算法的三个方面：适用范围，时间复杂度，最优解性质。

世上总是缺乏十全十美的事物，算法亦然难以同时满足所有要求。近似算法就是舍弃第三者的产物。

更详细的内容可以询问度娘、某乎、CSDN博客等。

k-path问题

著名的NP-Hard问题。对于给定的图\(G\)（不妨设它有\(n\)个点和\(m\)条边）和一个正整数\(k\)，要求找到图中一个包含\(k\)个节点的简单路径（即该路径中，不允许多次经过同一节点）。这条简单路径（的权值和）应当满足某种最值要求。

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使用方法

第一步，对图（中的点）随机染色，染色使用的颜色有k种（即要选取的简单路径的节点个数）。

注：请不要纠结颜色具体是红黄蓝还是黑白灰，这里的“颜色”只是一种分类的标识而已。可以认为这一步将图中的点随机（而不是均匀）分为\(k\)类。

第二步，在颜色限制下进行状态压缩DP，求出最值路径。

状态定义需要两维：\(f(i,s)\)表示路径重点为\(i\)点，路径中经过颜色集合为s时的最大/小值

对于每条边(u,v)，有如下的状态转移方程：

如果v的颜色在集合s中，则：$$f(v,s) = \max{ f(u, s')+w(u,v) }$$

其中集合\(s'\)是集合\(s\)除去\({col_{v}}\),\(w(u,v)\)是边\((u,v)\)的权值

如果\(u\)的颜色在集合\(s\)中，同理。

思想&原理

我们假定最终解中的点被染成了两两不同的颜色。

那么最终解应该是：\(ans = \max{ f(i,\{1,2,3,...,k\}) }\)

得出这个【假定最优解】的时间复杂度是\(O(m*2^k)\)。似乎是个很理想的效率。

然而，【假定最优解】真的是【最优解】吗？

不一定，说白了就是看运气（）

如果真正的最优解并没有被染成两两不同的颜色，就再来一次。只要重开的次数够多，那总会那么有一次刚好得到最优解。

当然也不可能纯凭运气。

可以计算得到，最优解恰好被染成两两不同的颜色的概率是\(\frac{k!}{k^k}\)。从概率的角度，得到最优解的期望次数是\(\frac{k^k}{k!}\)。题中的\(k\)不会太大，因此期望次数实际上不会太多，多跑几遍程序基本上就能过了。

但是之所以称它为【欧皇限定】…因为始终存在和正解错过的可能，如果脸黑到一定程度的话……？

例题 HDU6664 Andy and Maze

翻译：\(n\)个房间，每个房间里有一块宝石，\(m\)条无向边连接，经过每条路径都有花费，到达每个房间可以获得一块宝石，获得\(k\)块就可以逃离迷宫，但是这条获得宝石的路径上同一个房间不能进入多次，你不知道哪里是起点。问满足条件的路径最多花费多少。