卡特兰数&斯特林数

1|0卡特兰数

引入

不妨从找规律开始。
下标从$0$开始，卡特兰数的前几项为：

1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…

那么通过认真的瞪眼观察，会发现它们满足递推关系。

关于

卡特兰数是一个很常见的数列。它并没有一个足够具体的意义，但诸多问题中都出现了与之相符的数学规律。
比起组合数的用形式规范问题，它更像是用诸多例子来勾勒出的形式。

下面根据几个实际的问题模型来讨论卡特兰数。

1|1通项公式

$$C(n) = \tbinom{2n}{n}-\tbinom{2n}{n+1}$$

问题

1. 给定$n\times n$的网格图。问，从左下角走到右上角，且不越过$x=y$对角线的方案数。

等价问题

2. $n$个左括号和$n$个右括号的括号匹配的方案数。
   括号匹配：任意前缀中，左括号数量不小于右括号数量。

3. $1$到$n$依次入栈，可能的不同出栈序列数量。

4. $n$个无编号节点构成的区别左右儿子的有根二叉树数量。

5. $2n+1$个无编号节点构成的左右儿子有区别的有根真二叉树数量。

证明：因为懒得写了（其实是不会），所以推荐参考%%%sto这篇otz%%%

变形

$$C(n) = \frac{1}{n+1} \tbinom{2n}{n} \\ C(n) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^{n}\tbinom{n}{i}^2$$

1|2递推公式

对于$n \ge 2$，有：

$$C(n)=\sum_{i=1}^{n} C(i-1)C(n-i)$$

问题

尤其是一些凸多边形问题

1. 已知一个凸$n$边形，将其三角剖分，问可能的方案数。

2. 已知一个凸$n$边形，在其顶点上插入钉子，在钉子间缠绕若干橡皮筋，问使橡皮筋不相交的方案数。

等价问题

3. $n$个无编号节点构成的区别左右儿子的有根二叉树数量。

4. 用若干个矩形构成$n$级楼梯，且每个矩形的右下角都作为一级楼梯的组成，问可能的方案数。

证明

类似动态规划中的转移方程，略。

另一个递推公式

$$C(n) = \frac{4n-2}{n+1}\times C(n-1)$$

2|0斯特林数

就是斯特林数。

2|1第一类斯特林数

记作$s(n,m)$，或者${n}\brack{m}$。
表示将$n$个不同元素划分为$m$个相同的非空轮换的方案数。

轮换：首尾相接的环形排列，例如$[A,B,C,D]=[B,C,D,A]$。

性质

$$n! = \sum_{i=0}^{n} {n\brack i}$$

考虑等式左边表示排列数，右边表示轮换数。

一个排列可以唯一对应一个置换（也就是唯一对应一组轮换），故等式成立。

递推式

对于$m>0$，有：

$${n\brack m} = \sum \begin{cases} {n-1 \brack m-1} &,Case1\\ (n-1)\times {n-1\brack m }&,Case2 \end{cases}$$

特别地，

• 当$n>0$，则${n\brack 0} = 0$；
• 当$n=0$，则${0\brack 0} = 0$。

通过考虑第$n$个元素的状况来推导：

Case1：第$n$个元素为单独的一个轮换。
Case2：第$n$个元素加入前面某个轮换，此时有$n-1$种加入方式。

计算同行

构造出一行中斯特林数的生成函数。

$$F_n(x) = \prod_{i=0}^{n-1}(x+i) = \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$$

也就是$x$的$n$次上升幂。

关于写这篇的时候，还不太会NTT，所以先放博客在这里，学会了回来补充细节，。

计算同列

类似求同行的办法，单个轮换的生成函数为：

$$F(x) = \sum_{i=1}^n (i-1)!\frac{x^i}{i!}$$

2|2第二类斯特林数

记作$S(n,m)$，或者$n\brace m$。
表示将$n$个不同的元素划分为$m$个相同非空集的方案数。

性质

$$n^m = \sum_{i=0}^m i!\times{m\brace i}{n\choose i}$$

考虑等式左边表示$m$个不同元素放入$n$个不同集合
等式右边枚举非空集的数量为$i$，再$i!$区分非空集，然后把$m$个元素放入$i$个“相同”非空集。
故等式成立。

递推式

$${n\brace m} = {n-1\brace m-1} + m{n-1\brace m}$$

特别地，

• 当$n>0$，则${n\brace 0} = 0$；
• 当$n=0$，则${0\brace 0} = 0$。

类似第一类斯特林数的递推式推导：
考虑第$n$个元素是否单独为一个非空集合。

通项公式

$${n\brace m} = \frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m (-1)^k (m-i)^n {m\choose i}\\ $$

也就是：

$${n\brace m}=\sum_{i=0}^m \frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}$$

利用容斥原理。

枚举空集的数目$i$，剩下的集合可以随意放置。
考虑到集合相同，最后要除$m!$。

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本文作者：Meteor2008
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