树链剖分【产品说明书】

一种暴论：树链剖分 = 多叉树上分块 + 线段树

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1|0适用范围

总之就是数据结构的基础问题。
总的来说，树链剖分可以在$O(m\log n)$的时间复杂度中，解决大多数树上路径问题，包括其修改、维护和查询。

例如这样的一道模板题

又例如……（请直接跳到本文最后一章）

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2|0产品简介

树链剖分有两种：重链剖分，长链剖分。（按照剖分树的方式区分）

重链剖分中有如下一些定义：

重儿子：除叶子节点外，每个点的儿子中，子树最大（即子树节点最多）的子节点。（每个节点只有一个）
轻儿子：除叶子节点外，每个点的儿子中，不是重儿子的节点。（每个节点可能有不止一个）
重边：除叶子节点外，两端点都是重儿子的边。它用于构成重链。
轻边：除叶子节点外，每个节点到其轻儿子的边。它起到连接重链的作用。
重链：一些重边连成的链。
轻链：一些轻边连成的链。

而长链剖分，相当于将重链剖分中“子树大小”的部分替换为了“子树深度”，例如：

长儿子：除叶子节点外，每个点的儿子中，子树最深（即子树的层数最大）

综上，树链剖分是对树进行剖分，最终使其变成一些线性且不相交的链的算法。这时候，对树的操作，就变成了在链上的操作。
链可是经常作为部分分存在的好东西啊

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3|0生效原理

关于它的性质和实现方式。

3|1树链剖分的性质

每个节点只能属于一条链，如果每次都选择节点更多的分支建链，建出的链自然会更长，从而，链的数量也就会更少。

由此，对于重链剖分，有这样的性质：
从根节点到任意一个叶子只需要经过$O(\log_{2}n)$条重链。
（因为每条轻边意味着树的大小至少缩小了一半。所以整棵树中，轻边的数量是$O(\log_{2}n)$的。而两条重链必然由轻边连接。）

它的另一个性质是：每条重链的DFS序是连续且有序的。
这一性质使重链得以被线段树维护。对于树上区间的修改查询问题，它“继承”了线段树的优势。

3|2树链剖分的实现

详见代码解析（指路）

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4|0使用范例

4|1DFS序与线段树

我们知道两个性质：

1. 每条重链内的DFS编号连续且有序
2. 每棵子树内的DFS编号连续且有序

所以以DFS编号建立线段树。则同一条重链的节点，在线段树上是一个连续区间。

4|2路径上的修改与查询

假设给出节点$x$，$y$，要修改/查询$x$到$y$最短路径上节点的权值。

这其实类似于求LCA的过程。（毕竟树上最短路径嘛）而这个过程又类似于ST表求LCA的过程。
不妨假设$x$链头深度更深，设$dfn[u]$表示节点$u$的dfs编号。

修改

首先，令$x$沿重链向上跳到链头。修改这段路径中的节点权值。（对应线段树中区间为$[dfn[x], dfn[链头]$）

然后将$x$跳到上方的重链，并再次执行上一操作。重复这两步，直到$x$与$y$的链头深度相同。

然后将$x$和$y$同时向上跳（类似上两步的方法），直到它们处于同一条重链之中。此时再修改$x$和$y$之间的节点即可。（对应线段树中区间为$[dfn[x], dfn[y]]$）

过程中的每次修改，直接调用update函数即可。

查询

路径查询和路径修改一模一样。只需要把update函数换成query函数。
（甚至可以用同一个求LCA函数实现查询&修改）

4|3子树里的修改与查询

子树里的操作相比于路径更加简单。
一棵子树中节点的DFS序是连续且有序的，所以可以直接用线段树进行操作（当然，提前处理子树的$l$和$r$）

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完结撒花！

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本文作者：Meteor2008
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