【NOIP2022】建造军营

1|0题面

1|1题目描述

A 国与 B 国正在激烈交战中，A 国打算在自己的国土上建造一些军营。

A 国的国土由 $n$ 座城市组成，$m$ 条双向道路连接这些城市，使得任意两座城市均可通过道路直接或间接到达。A 国打算选择一座或多座城市（至少一座），并在这些城市上各建造一座军营。

众所周知，军营之间的联络是十分重要的。然而此时 A 国接到情报，B 国将会于不久后袭击 A 国的一条道路，但具体的袭击目标却无从得知。如果 B 国袭击成功，这条道路将被切断，可能会造成 A 国某两个军营无法互相到达，这是 A 国极力避免的。因此 A 国决定派兵看守若干条道路（可以是一条或多条，也可以一条也不看守)，A 国有信心保证被派兵看守的道路能够抵御 B 国的袭击而不被切断。

A 国希望制定一个建造军营和看守道路的方案，使得 B 国袭击的无论是 A 国的哪条道路，都不会造成某两座军营无法互相到达。现在，请你帮 A 国计算一下可能的建造军营和看守道路的方案数共有多少。由于方案数可能会很多，你只需要输出其对 $1,000,000,007\left(10^{9}+7\right)$ 取模的值即可。两个方案被认为是不同的，当且仅当存在至少一 座城市在一个方案中建造了军营而在另一个方案中没有，或者存在至少一条道路在一个 方案中被派兵看守而在另一个方案中没有。

1|2输入输出与样例

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，分别表示城市的个数和双向道路的数量。

接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $u_{i},v_{i}$，描述一条连接 $u_{i}$ 和 $v_{i}$ 的双向道路。保证没有重边和自环。

输出格式

输出一行包含一个整数，表示建造军营和看守道路的方案数对 $1,000,000,007\left(10^{9}+ 7\right)$ 取模的结果。

样例输入

2 1
1 2

样例输出

5

样例解释

A 国有两座城市，一条道路连接他们。所有可能的方案如下：

• 在城市 $1$ 建军营, 不看守这条道路;
• 在城市 $1$ 建军营, 看守这条道路;
• 在城市 $2$ 建军营, 不看守这条道路;
• 在城市 $2$ 建军营, 看守这条道路;
• 在城市 $1,2$ 建军营, 看守这条道路。

1|3数据规模与约定

对所有数据，保证 $1 \leq n \leq 5 \times 10^5$，$n - 1 \leq m \leq 10^6$，$1 \leq u_i, v_i \leq n$，$u_i \neq v_i$。

各测试点的信息如下

测试点编号	$n \leq$	$m \leq$	特殊条件
$1 \sim 3$	$8$	$10$	无
$4 \sim 7$	$16$	$25$	无
$8 \sim 9$	$3000$	$5000$	无
$10 \sim 11$	$5 \times 10^5$	$10^6$	特殊性质 $\mathrm{A}$
$12 \sim 14$	$5 \times 10^5$	$10^6$	$m = n - 1$
$15 \sim 16$	$5 \times 10^5$	$10^6$	$m = n$
$17 \sim 20$	$5 \times 10^5$	$10^6$	无

特殊性质 $\mathrm{A}$：保证 $m=n-1$ 且第 $i$ 条道路连接城市 $i$ 与 $i+1$。

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2|0题解

2|1方法概述

先 双连通分量缩点，再 树上DP+容斥
建议先去熟悉一下tarjan算法以及相关概念（如割点、割边、缩点）。

2|2推荐阅读

一篇做题思路相当完整的题解

适合捋思路，它的DP稍微有点复杂，不过大差不差（？）

一篇没有用双缩点的神仙题解

就是不明觉厉……

一篇讲双连通分量的前置博客

不知道我啥时候才会自己写一篇

本篇题解内容均基于以上三篇（以及个人理解）。

2|3部分分

测试点编号	$n \leq$	$m \leq$	特殊条件	解法
$1 \sim 3$	$8$	$10$	无	solve1
$4 \sim 7$	$16$	$25$	无	solve1
$8 \sim 9$	$3000$	$5000$	无	solve3_plus
$10 \sim 11$	$5 \times 10^5$	$10^6$	特殊性质 $\mathrm{A}$	solve2
$12 \sim 14$	$5 \times 10^5$	$10^6$	$m = n - 1$	solve3
$15 \sim 16$	$5 \times 10^5$	$10^6$	$m = n$	solve3_plus
$17 \sim 20$	$5 \times 10^5$	$10^6$	无	正解

就算不会tarjan和缩点，骗个45pts也是没什么悬念的。

solve[1]:暴搜

枚举所有$2^n$种军营的选法。
枚举后将得到一张“子图”，在这张“子图”中对边进行分类：哪些边是必须的，哪些边可选可不选，以此进行统计。

注意，这张“子图”实际和原图拥有完全一致的点边结构。不同的是，“子图”中的一些点被标记为军营

若可选可不选的边有$x$条，则对当前选法答案的贡献是$\times 2^x$。
（必须的边没有贡献，因为只有一种选法）

判断必须的边。
首先，可以对“子图”再进行一次简化。任意端点不是标记点的边一定是可选可不选的，因为它对“战局${^1}$”没有任何影响。（1：“战局”即 军营的连通性）
于是，在进行统计之后，可将战局外的边和点忽略，得到一张“真·子图”。

接下来考虑如何在“真·子图”中进行边的分类。

这时会发现一个性质。

注意，并非是此性质需要前文的推断作为基础。实际上，只有当我们产生“分类边”这一需求，才会“顺理成章”地得出这一性质）

必须的边都是“真·子图”中的割边，可选可不选的边都是“真·子图”中的非割边。
这一点根据割边的定义得出，不需要证明。

对“真·子图”进行一次tarjan，就可以完成分类以及统计。
（关于tarjan算法，此处不多赘述）

这里说这么多是因为这个性质会从头用到尾

考虑时间复杂度。
进行$2^n$次枚举。每次枚举跑一遍tarjan，是$O(n)$的复杂度。
共是$O(n2^n)$复杂度。$n\leq 16$，则$n2^n$约为$1e6$。
是挺正确的时间复杂度。

solve[2]：链上解

利用特殊性质。
数据保证图是一条链，实际上是将求边的难度降低了。
与solve[1]情况不同的是，可以简单的排除掉$2^n$中的许多不合法情况。对于一条链，保证连通性的也只会是一条子链，或者说一个子区间。此时，只需要头尾两个端点就能确定边的情况。

求[l,r]对答案的贡献。
先抛开枚举不谈，假使已经确定了一个区间[l,r]。
此时可选可不选的边是[1,l]和[r,n]的边，必选的是[l,r]的边。
统计答案时，只需要边的数量，而不需要具体的边。
贡献应当是：

$$sum = 2^{l+n-r-1}$$

事实上，还忽略了一个东西。
即使在这个区间[l,r]中，所有边都必须选中，点却不一定。所以答案还要$\times 2^{l-r-1}$。（只有l和r本身必选）
于是有：

$$sum = 2^{l+n-r-1}\times 2^{l-r-1} = 2^{n-2}$$

所以这个答案和l、r压根没关系嘛。

答案和时间复杂度。
l和r的可能配对统共有$C_{n}^{2}$种。
于是乎，答案就是：

$$ans = C_{n}^{2}\times 2^{n-2}$$

是一个类似于O(1)解决的时间复杂度。
是一个类似于O(n)解决的时间复杂度。

solve[3]:树上DP

其实已经极其接近正解了，不会有人只写树上DP却不写正解吧。（？
于是决定放在正解部分说明。

solve[3]_plus：树上DP_plus

测试点8~9
进行缩点的树上背包DP。
（而不是正解里更优的DP，不打算细嗦）
$f(u,i)$表示当前节点$u$、选了$i$个军营的情况数。

测试点15~16
比起solve[3]多的一条边会形成一个环。
对这个环进行特判可以解决。（虽然有点麻烦）
正解也可以解决。（不那么麻烦）

2|4正解做法

（只是其中一种做法，仅供参考）

想在前面

会发现“环”是一个挺关键的麻烦。
前面的性质也提到了“割边”，其实隐隐约约就能感觉到正解的方向了。
像这种计数题肯定是用DP解决无疑的，但是给出的图又不保证是树。
要DP肯定还得是树上DP，所以要尝试把图变成树。

这不就巧了吗，又是环，又是割边，又是图变成树……
于是就双连通分量缩点，利用所有条件解决所有问题，挺完美的。

P.S.其实我做题的时候是卡在这里的，如下

：话说为什么可以缩点啊，即使是双连通分量，难道对于其中的部分点时一定不会是必选吗？
：它是个环啊！是个环啊！环！
：（连滚带爬）

P.S.当我还在摸鱼写题解的时候，勤奋的同学已经怒切下一道了，恐怖如斯QAQ

缩点

其实直接缩就可以。
对于每个新点记一下包含了多少原来的点，包含了多少原来的边。
缩点时需要记哪些东西，一般都可以毛估估出来。
或者一开始就多记一点也无所谓，不影响，而且比较保险。

树上DP

缩点之后就只剩下割边了，也就是说，图变成了树。
于是就可以快乐的树上DP。（DP还是多练练，熟悉下解题思路）

状态定义：
$f(u,1)$表示点$u$的子树中至少选了一个军营，并且军营和$u$连通的情况数。
$f(u,0)$表示点$u$的子树中不选军营的情况数。

在考虑转移前先考虑答案统计。

注意，DP优先证明正确性，但是可以仅仅脑内自证，不详细写出。正因如此，这里仅仅是考虑答案统计，而不是答案统计

对于每个节点，只统计子树外无军营且不选u的树边情况下的答案。
联系到状态定义，就可以保证不重不漏。

这里额外补充一点定义：
$sumV(u)$表示缩点后节点$u$包含的点数
$sumE(u)$表示缩点后节点$u$包含的边数
$sumS(u)$表示缩点后节点$u$子树的边数
$fa(u)$表示缩点后节点$u$的父亲节点

状态转移：

$$f(u,0) = 2^{sumE(u)}\times \Pi_{fa(v)=u}{2 f(v,0)}\\ f(u,1) = \sum_{fa(v)=u}{f(u,0)\times f(v,1)+f(u,1)\times(2f(v,0)+f(v,1))}$$

代码实现中要注意$f(u,1)$转移的先后顺序。
应当先乘再加，或者提前存储$f(u,1)$的值。

初始化状态：

$$f(u,0) = 2^{sumE(u)}, f(u,1) = 2^{sumV(u)+sumE(u)}-2^{sumE(u)}$$

答案统计：
设根节点为$rt$（root的简写），缩点后树的点集为$V$

$$ans = \sum_{u\in V \and u \not= rt}{f(u,1)\times 2^{sumS(rt)-sumS(u)-1}}+f(rt,1)$$

根节点的话，一般是选$1$，不过其实选哪个都差不多。

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本文作者：Meteor2008
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