群论

被超快的讲课速度吓晕|*´A`)ﾉ

各个博客东拼西凑来的(Ｔ^Ｔ)

---

一些定义：

群：

一类代表二元运算的代数结构。
e.g.群$G$定义为$(S,\cdot)$，其中$S$是集合，$\cdot$是一个二元运算符。

代数结构：用集合与关系的语言给出的统一形式

群的阶：

群的集合的元素数

子群：

由群的集合的子集和群的二元运算符构成的群。
e.g.已知群$G=(S,\cdot)$，有$T\subseteq S$，则$G'=(T,\cdot)$是$G$的子群。

生成子群：

由元素通过“乘法”、“取逆”等运算所得到的子群。

---

置换($g$)：

有限集合到自身的双射（一一对应关系）。

置换群($G$)：

用于置换的群。（大概是说，置换群的运算即元素之间的置换关系）

稳定化子($Z_k$)：

使得元素$k$在置换下不移动（稳定）的群的集合。

轨道($E_k$)：

在置换群中，元素$k$的移动诡计轨迹构成的集合。

循环($h_g$)：

在一个置换$g$的作用下，元素移动产生的循环。

---

一些性质：

群

满足封闭性、结合律，有单位元和逆元。
abel群满足交换律。

1. 封闭性：按照群的运算进行运算得到的元素也在群里。

$$\forall x,y\in S \longrightarrow x\cdot y \in S$$

2. 结合律：就是结合律

$$\forall x,y,z\in S \longrightarrow x\cdot y\cdot z = x\cdot (y\cdot z)$$

3. 单位元($e$)：对于运算结果无影响的元素（同矩阵单位元）相当于乘法中的1，加法中的0。

$$x\cdot e = x$$

4. 逆元：对于式子$x\cdot y = e$，有$x,y$互为逆元。

---

轨道-稳定化子 定理：

$$|E_k|\times|Z_k|=|G|$$

Burnside 定理：

$$L = \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}c_x$$

设$G$是目标集$[1,n]$上的置换群，$c_x$表示在$x$的置换下不动点的数量。$G$将$[1,n]$划分为$L$个等价类。

拉格朗日 定理：

元素对应循环子群的阶 必然能够整除 群的阶。

Polya 定理：

$$L = \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}{m^{h_x}}$$

$h_x$表示在$x$的置换下循环节的数量，如果将$G$中元素用$m$种颜色染色，然后将目标集排列的集合划分为$L$个等价类。

---

参考：

https://www.cnblogs.com/nosta/p/9444576.html
https://www.cnblogs.com/rrsb/p/9016802.html
https://www.cnblogs.com/mikufun-hzoi-cpp/p/12153046.html
https://www.luogu.com.cn/blog/Soulist/solution-p4980

__EOF__

本文作者：Meteor2008
本文链接：https://www.cnblogs.com/meteor2008/p/17570809.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！