2019 年 11月随笔档案 - sorrowise

Project Euler 69: Totient maximum

摘要：欧拉函数$\varphi(n)$计算小于$n$的自然数中和$n$互质的数的个数，比如1, 2, 4, 5, 7和8都小于9并且和9素质，因此$\varphi(9)=6$。下表列示了小于等于十的数的欧拉函数值：可以看到对于$n\le10$当$n=6$时$n/\varphi(n)$取得最大值，求对于$ 阅读全文

posted @ 2019-11-29 16:48 sorrowise 阅读(212) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 68: Magic 5-gon ring

摘要：考虑下面这个神奇的三解形环，六个环中填了一至六六个数字，其中每一排相加都等于九：按顺时针方向并且从最小的外部节点所在的一排开始(这里是4, 3, 2)，每一个结果都是唯一的。比如，上面的图对应的结果是{4,3,2; 6,2,1; 5,1,3}。有八种可能的方式来完成上面这个三角形环，对应四个不同的阅读全文

posted @ 2019-11-29 15:00 sorrowise 阅读(281) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 67: Maximum path sum II

摘要：从以下这个三角形的顶部开始，向相邻的下一行的数字移动，经过之数所能得到的最大的和为23，即：$3+7+4+9=23$ $$ 3\\ 7\quad4\\ 2\quad4\quad6\\ 8\quad5\quad9\quad3 $$ 对于文本文件中包含的一百行的三角形(见数据文件ep67.txt)，求其阅读全文

posted @ 2019-11-28 14:56 sorrowise 阅读(146) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 66: Diophantine equation

摘要：考虑如下形式的二次丢番图方程： $$ x^2 Dy^2=1 $$ 例如，当$D=13$，该方程的最小正整数解是$649^2 13\times180^2=1$。不难发现，当$D$是完全平方数时，这个方程没有正整数解。对于$D=\{2,3,5,6,7\}$，我们可以找到如下最小正整数解： $$ \beg 阅读全文

posted @ 2019-11-27 17:39 sorrowise 阅读(267) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 65: Convergents of e

摘要：二的平方根可以写成如下无限连分数的形式： $$ \sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + ...}}}} $$ 这个无限连分数可以被记为$\sqrt{2} = [1; (2)]$，其中$(2)$表示2 阅读全文

posted @ 2019-11-26 16:20 sorrowise 阅读(235) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 64: Odd period square roots

摘要：所有平方根写成连分数时都是周期性的，连分数的形式如下： $$ \displaystyle \quad \quad \sqrt{N}=a_0+\frac 1 {a_1+\frac 1 {a_2+ \frac 1 {a3+ \dots}}} $$ 例如，让我们看一下$\sqrt{23}$： $$ \qu 阅读全文

posted @ 2019-11-26 11:17 sorrowise 阅读(179) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 63: Powerful digit counts

摘要：五位数$16807=7^5$也是一个五次幂，同样的，九位数$134217728=8^9$也是一个九次幂。求有多少个$n$位正整数同时也是$n$次幂？分析：设题目要求的幂的底为$n$，指数为$k$，则这个幂应为$k$位数，则有： $$ 10^{k 1}<n^k<10^k \Rightarrow k 阅读全文

posted @ 2019-11-23 17:12 sorrowise 阅读(152) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 62: Cubic permutations

摘要：立方数$41063625 (345^3)$的各位数重新排列形成另外两个立方数$6623104 (384^3)$和$66430125 (405^3)$。事实上，$41063625$是满足以下条件的最小的立方数，即其各位数的重新排列刚好可以形成三个立方数。求满足以下条件的最小立方数，即其各位数的重新排列阅读全文

posted @ 2019-11-23 16:11 sorrowise 阅读(138) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 61: Cyclical figurate numbers

摘要：三角形数、正方形数、五边形数、六边形数、七边形数和八边形数都是有形数，且分别可以通过以下公式得到： | 类型 | 公式 | 示例 | | : : | : : | : : | | 三角形数 | $P_{3,n}=n(n+1)/2$ | $1,3,6,10,15$ | | 正方形数 | $P_{4,n} 阅读全文

posted @ 2019-11-23 11:09 sorrowise 阅读(208) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 60: Prime pair sets

摘要：素数3, 7, 109, 673很有意思，从中任取两个素数以任意顺序拼接起来形成的仍然是素数。例如，取出7和109，7109和1097都是素数。这四个素数的和是792，是具有这样性质的四个素数的最小的和。求满足以上性质的五个素数的最小的和。分析：这道题的解法非常让人出人意料，这个问题实际上和图论中阅读全文

posted @ 2019-11-18 12:37 sorrowise 阅读(461) 评论(0) 推荐(1)

Project Euler 59: XOR decryption

摘要：计算机上的每个字母都对应一个独特的编号，普遍接受的标准是ASCII(美国信息交换标准代码)。例如，大写字母的A的ASCII码是65，星号( )的ASCII码是42，而小写字母k的代码是107。一种现代的加密方法是：输入一个文本文件，把其中的字节转化为对应的ASCII码，然后用从秘钥中获得的特定值和阅读全文

posted @ 2019-11-14 21:39 sorrowise 阅读(359) 评论(1) 推荐(2)

Project Euler 58: Spiral primes

摘要：从一开始按以下方式逆时针旋转，可以形成一个边长为七的正方形螺旋：一个有趣的现象是右下对角线上都有一个奇完全平方数，但是更有趣的是两条对角线上的十三个数中有八个数是素数(已经标红)，也就是说素数占比为$8/13\approx62\%$。如果在上面的螺旋再加一层就可以形成一个边长为九的正文形螺旋。如果阅读全文

posted @ 2019-11-14 09:08 sorrowise 阅读(193) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 57: Square root convergents

摘要：五十七、平方根收敛(Square root convergents) 二的平方根可以表示为以下这个无穷连分数： $$ \sqrt 2 =1+ \frac 1 {2+ \frac 1 {2 +\frac 1 {2+ \dots}}} $$ 通过把前四项展开，我们得到： $$ \begin{aligne 阅读全文

posted @ 2019-11-13 16:48 sorrowise 阅读(156) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 56: Powerful digit sum

摘要：一个古戈尔也就是$10^{100}$是一个天文数字，一后面跟着一百个零。$100^{100}$更是难以想像的大，一后面跟着两百个零。但是尽管这个数字很大，它们各位数字的和却只等于一。考虑两个自然数$a,b$形成的指数$a^b(a,b<100)$，其最大的各位数字之和是多少？分析：此题思路比较直接，阅读全文

posted @ 2019-11-13 15:39 sorrowise 阅读(201) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 55: Lychrel numbers

摘要：五十五、吕克雷尔数(Lychrel numbers) 如果我们把$47$翻转过来并和其自身相加，结果是$47+74=121$是一个回文数。并不是所有的数都可以这么快的变成回文数，比如说： $$ \begin{aligned}349 + 943 &= 1292\\1292 + 2921 &= 4213 阅读全文

posted @ 2019-11-13 15:04 sorrowise 阅读(224) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 54: Poker hands

摘要：在纸牌游戏中，一手包含五张牌并且每一手都有自己的排序，从低到高的顺序如下：大牌：牌面数字最大一对：两张牌有同样的数字两对：两个不同的一对三条：三张牌有同样的数字顺子：所有五张牌的数字是连续的同花：所有五张牌有同样的花色船牌：三张同样数字的牌加一个一对四条：四张牌有同样的数字同花顺：阅读全文

posted @ 2019-11-13 09:50 sorrowise 阅读(425) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 53: Combinatoric selections

摘要：从12345这个数字中挑选出三个数共有十种方式： $$ 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245,345 $$ 在组合学中，我们将其记为$C(5,3)=10$。一般地： $$ C(n,r)=\frac{n!}{r!(n r)!},\ where\ r\l 阅读全文

posted @ 2019-11-08 18:46 sorrowise 阅读(163) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 52: Permuted multiples

摘要：可以看到数字125874的两倍251748和它有着完全相同的数字，只是顺序不同而已。求一个最小的正整数$x$，使得$2x,3x,4x,5x,6x$都有完全相同的数字。分析：此题的思路比较直接，可以明显看出个位数肯定不能满足题目的要求，则我们可以从十开始向上搜寻，求出这个数的二至六倍，算出它们字符串阅读全文

posted @ 2019-11-08 16:52 sorrowise 阅读(106) 评论(0) 推荐(0)

Project Euler 51: Prime digit replacements

摘要：通过替换 3这样一个两位数的第一位，我们可以发现形成的九个数字有六个是质数，即13, 23,43,53,73,83。类似的，如果我们用同样的数字替换56 3这样一个五位数的第三位和第四位，会生成56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, 56993七个质数，事阅读全文

posted @ 2019-11-08 15:58 sorrowise 阅读(249) 评论(0) 推荐(0)

欧拉工程解题思路分析之绪言