Project Euler 61: Cyclical figurate numbers

三角形数、正方形数、五边形数、六边形数、七边形数和八边形数都是有形数，且分别可以通过以下公式得到：

类型	公式	示例
三角形数	\(P_{3,n}=n(n+1)/2\)	\(1,3,6,10,15\)
正方形数	\(P_{4,n}=n^2\)	\(1,4,9,16,25\)
五边形数	\(P_{5,n}=n(3n-1)/2\)	\(1, 5, 12, 22, 35\)
六边形数	\(P_{6,n}=n(2n-1)\)	\(1, 6, 15, 28, 45\)
七边形数	\(P_{7,n}=n(5n-3)/2\)	\(1, 7, 18, 34, 55\)
八边形数	\(P_{8,n}=n(3n-2)\)	\(1, 8, 21, 40, 65\)

四位数的有序集合{8128, 2882, 8281}有三个有趣的性质：

1. 这个集合中的元素是循环的，每个元素的后两位数等于后一个元素的前两位数；
2. 每一类多边形数，如三角形数8128，正方形数8281和五边形数2882都在集合中有一个唯一的代表；
3. 这是唯一具有上面性质的四位数集合。

找到唯一的拥有六个循环的四位数的有序集合，且这六个不同的数分别对应一个多边形数，求这个六个数的和。

分析：这道题和六十题一样，本质是一个图论的题目，也可以用图论中的算法加以解决。题目要求找到一个由六个有形数构成的集合，这六个数构成一个循环，实际上就是寻找一个六分图中的简单回路，这可以用深度优先搜索算法加以解决。整个过程可以分成以下几步：第一步，求出所有符合条件的六类有形数，即要是四位数，同时后两位数形成的数字应该大于九，否则紧接着它的有形数的前两数就会小于九，无法形成一个四位数。根据这个维基页面存在一个计算有形数的通用公式，因此就不需要用题目中给出的六个公式来分别计算六类有形数了，这可以简化一些代码。这里需要注意的是，我们不仅关心有形数的数值，还关心它的种类以及前两位数和后两位数，所以我们可以用python中内置的namedtuple数据结构把每个有形数打包成一个类，然后用类属性的方式访问它的类别、数值、前两位数和后两位数。

第二步，根据已经计算出来的所有符合条件的有形数(共有302个)，遍历这个列表，对其中每个有形数找到每个前两位数和它后两位数相同，且属于不同类型的有形数加入到一个词典中。词典的键是某个有形数，值是所有后继和它类型不同的有形数。熟悉图论的同学可能已经发现，这里我们实际上已经建立一个邻接表用来表示图，而我们这里形成的图显然是一个无权有环的有向图。此外， 我们还可以发现同一类型的数，比如说三角数或者正方形数之间不互相联通，只有不同类型的数才可以联通。因此整个图会形成六个分散的集合，各个集合内的元素互不联通，而只与集合以外的其它集合中的元素联通，这实际上就是图论的多分图，感兴趣的同学可以看这个页面。我们的目标就是在这个六分图中找到一个简单回路，从某个集合中的某个元素出发，最后再回到这个集合。

第三步，在我们已经建立的图中进行深度优先搜索。从图中的任意顶点出发进行搜寻，注意我们要保证每种类型的有形数都只出现一次，因此需要建立一个存储已经访问过的顶点所属类型的列表。如此搜寻下去，只到结果列表中的数达到了六个，且列表中的最后一个数的后两位数和第一个数的前两位数相同，则我们已经找到了想要的六个循环的有形数。计算它们的总和，即为题目所求。这道题只要认识到它和图论有关，并会用深度优先搜索来找到结果，其它的部分都相对比较简单了。代码如下：

# time cost = 92.1 ms ± 1.28 ms

from collections import namedtuple

def poly_numbers(s,n):
    Pn = namedtuple('Pn','s v ftd ltd')
    v = (n**2*(s-2)-n*(s-4))//2
    ftd,ltd = v // 100, v % 100
    pn = Pn(s,v,ftd,ltd)
    return pn

def poly_number_graph():
    arr,graph = [],{}
    for s in range(3,9):
        for n in range(19,141):
            pn = poly_numbers(s,n)
            if 999 < pn.v < 10000 and pn.ltd>9:
                arr.append(pn)
    for pn in arr:
        res = []
        for apn in arr:
            if pn.s != apn.s and pn.ltd == apn.ftd:
                res.append(apn)
        graph[pn] = res
    return graph        

def dfs(graph,types,numbers):
    if len(types) == 6 and numbers[-1].ltd == numbers[0].ftd:
        print(sum([x.v for x in numbers]))
    else:
        for pn in graph.get(numbers[-1],[]):
            if pn.s not in types:
                dfs(graph,types+[pn.s],numbers+[pn])

def main():
    graph = poly_number_graph()
    for pn in graph:
        dfs(graph,[pn.s],[pn])