CF1552D题解

CF1552D题解

思路

首先，$a_i$ 的正负不重要，如果 $a_i=b_j-b_k$，那么就有 $-a_i=b_k-b_j$，读入时将 $a_i$ 全部转化为正数。

若满足 $a_i+a_j+\ldots+a_k$，那么就可以构造出 $b$ 序列，否则不行。

从左到右遍历一遍 $a$ 序列，动态规划推出所有可以组成的和，并判断是否满足上式，时间复杂度 $O(T\times n\times \max(a_i))$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int T,n,dp[N],a[20];
 
void solve(){
	for(int i=0;i<N;i++) dp[i]=0;
	cin>>n; dp[0]=1; bool flag=false;
	for(int i=0;i<n;i++){ cin>>a[i]; a[i]=a[i]<0?-a[i]:a[i]; }
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=N-1-a[i];j>=0;j--)
			if(dp[j]){
				if(dp[j+a[i]]==1) flag=true;
				else dp[j+a[i]]=1;
			}
	cout<<(flag?"YES\n":"NO\n");
}
-
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	for(cin>>T;T;T--) solve();
}
 

现在抛出一个不难验证的结论：若 $a_i\;\mathcal{op}\;a_j\;\mathcal{op}\ldots\;a_k\;\mathcal{op} \;a_l=0$ （$op$ 为 $+$ 或 $-$ ）
那么就可以构造出序列 $b$，否则不能。
那么对于 $a$ 序列中的所有数，有三种情况：

1. $a_i$ 不在上面式子中。
2. $a_i$ 在上式中，$op$为 $+$。
3. $a_i$ 在上式中，$op$ 为 $-$。

共 $3^n-1$ 种状态（因为不能全部不在上式中，所以减去 $1$ 种情况）。

遍历 $1$ 次这种状态，若有一种情况符合上式，那么就输出 yes，时间复杂度 $O(n\times3^n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,a[20];
 
void solve(){
	cin>>n; int k=pow(3,n);
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<k;i++){
		int sum=0,tk=i;
		for(int j=0;j<n;j++){
			int s=tk%3; tk/=3;
			if(s==2) s=-1;
			sum+=s*a[j];
		}
		if(sum==0) return (void)(cout<<"YES\n");
	}
	cout<<"NO\n";
}
 
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	for(cin>>T;T;T--) solve();
}