树上差分

近年的NOIP，对于树上差分的题目时有出现：（NOIP 2015《运输计划》，NOIP2016《天天爱跑步》）。

这些题目都要知道在树上从某个点到另一个点的所有路径。

但是，暴力求解这种题目经常会TLE。

这种题目需要使用树上差分。

在讲树上差分之前，首先需要知道树的以下两个性质：　

• 任意两个节点之间有且只有一条路径。
• 一个节点只有一个父亲节点

所以：如果假设我们要考虑的是从u到v的路径，u与v的lca是a，那么很明显，我们可以将路径拆分成两条链，u→a和a→v。那么树上差分有两种常见形式：

• 关于边的差分；
• 关于节点的差分。

树上差分
树上差分有两种实现方法，第一种是转换为线性差分，第二种是利用最近公共祖先（lca）进行差分。第一种方法用于修改子树，第二种方法用于修改路径

• 第一种差分

求出dfs序，以dfs序为基础进行差分

修改以i为根的子树的权值，在dfs序中相当于修改连续区间，可以O(1)实现

统计每个节点的权值，即求前缀和

• 第二种差分

直接进行差分，但差分维护的是每个点到根节点的路径

修改i到根路径上的权值，只要修改d[i]即可，复杂度O(1)

修改从x到y路径上的权值，可以先求它们的lca点z，将d[x]和d[y]分别相加，再减去2*d[z]即可，复杂度O(1)

统计每个节点的权值，即dfs求子树的差分和，时间复杂度O(n)

• 关于边(边(u,fa(u))信息记在节点x上)的差分：

将边拆成两条链之后，我们便可以像差分一样来找到路径了。

因为关于边的差分，a是不在其中的，所以考虑链u→a，则就要使d[u]++，d[a]--。

然后链v→a，也是d[v]++，d[a]--。

所以合起来便是d[u]++，d[v]++，d[a]-=2。

关于边(边(u,fa(u))信息记在节点u上)的差分：
从根节点，对于每一个节点x，都有如下的步骤：

1. 枚举x的所有子节点u
2. dfs所有子节点u
3. d[x]+=d[u]
   因为每个点都只会遍历一次，所以其时间复杂度为O(n).

• 关于点的差分：

还是与和边的差分一样，对于所要求的路径，拆分成两条链。

步骤也和上面一样，但是也有一些不同，因为关于点，u与v的lca是需要包括进去的，所以要把lca包括在某一条链中，最后对d数组的操作便是d[u]++，d[v]++，d[a]--，d[father[a]]--。

其时间复杂度也是一样的O(n)。