树的直径

树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的直径。一棵树可以有多个直径，他们的长度相等。

方法一：两次DFS：缺点：仅适用于正边权，优点：方便记录直径的路径，时间复杂度为：O(n)

方法二：树形DP：优点：也适用于负边权，缺点：不方便记录路径，时间复杂度：O(n)

方法一：两次DFS：
1.从任意节点出发，通过BFS和DFS对树进行一次遍历，求出与出发点距离最远的节点记为p
2.从节点p出发，通过BFS或DFS再进行一次遍历，求出与p距离最远的节点，记为q。
从p到q的路径就是树的一条直径。因为p一定是直径的一端，否则总能找到一条更长的链，与直径的定义矛盾。显然地脑洞一下即可。p为直径的一端，那么自然的，与p最远的q就是直径的另一端。
在第2步的遍历中，可以记录下来每个点第一次被访问的前驱节点。最后从q递归到p，即可得到直径的具体方案

方法二：树形DP：

给定一棵树，树中每条边都有一个权值，树中两点之间的距离定义为连接两点的路径边权之和。树中最远的两个节点之间的距离被称为树的直径，连接这两点的路径被称为树的最长链。后者通常也可称为直径，即直径是一个
数值概念，也可代指一条路径
树的直径通常有两种求法，时间复杂度均为O(n)。我们假设树以N个点N-1条边的无向图形式给出，并存储在邻接表中。

树形DP求树的直径
设1号节点为根,"N个点N-1条边的无向图"就可以看做“有根树”
设d[x]表示从节点x出发走向以x为根的子树，能够到达的最远节点的距离。设x的子节点为y1,y2, y3, ..., yt，edge(x, y)表示边权，显然有"
d[x] = max{d[yi] + edge(x, yi)}(1 <= i <= t)
接下来，我们可以考虑对每个节点x求出"经过节点x的最长链的长度"f[x]，整棵树的直径就是max{f[x]}(1 <= x <= n)
对于x的任意两个节点yi和yj，"经过节点x的最长链长度"可以通过四个部分构成：从yi到yi子树中的最远距离，边(x, yi)，边(x, yj)，从yj到yj子树中的最远距离。设j < i，因此：
f[x] = max{d[yi] + d[yj] + edge(x, yi) + edge(x, yj)}(1 <= j < i <= t)
但是我们没有必要使用两层循环来枚举i, j。在计算d[x]的过程，子节点的循环将要枚举到i时d[x]恰好就保存了从节点x出发走向“以yj(j < i)为根的子树”，能够到达的最远节点的距离，这个距离就是max{d[yi] +edge(x, yi)}(1
<= j < i)。所以我们先用d[x] + d[yi] + edge(x, yi)更新f[x]，再用d[yi] + edge(x, yi)更新d[x]即可

例题

P3304 [SDOI2013] 直径

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2e5+10;
int d[N],l,r,maxn;
int h[N*2],to[N*2],w[N*2],ne[N*2],cnt;
int n,p;
int pre[N];
int col[N];
void add(int x,int y,int z){
	w[++cnt]=z;
	to[cnt]=y;
	ne[cnt]=h[x];
	h[x]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
	pre[u]=fa;
	for(int i=h[u];i;i=ne[i]){
		int wei=w[i],v=to[i];
		if(v==fa)continue;
		d[v]=d[u]+wei;
		if(d[v]>maxn)maxn=d[v],p=v;
		dfs(v,u);
	}
}
void dfs2(int u,int fa){
	for(int i=h[u];i;i=ne[i]){
		int we=w[i],v=to[i];
		if(col[v]||fa==v)continue;
		d[v]=d[u]+we;
		if(maxn<d[v])maxn=d[v];
		dfs2(v,u);
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	dfs(1,0);
	l=p;
	d[p]=maxn=0;
	dfs(p,0);
	r=p;
	cout<<maxn<<endl;
	for(int i=r;i;i=pre[i])col[i]=1;
	int ll=l,rr=r;
	for(int i=pre[rr];i!=ll;i=pre[i]){
		int ld=d[i],rd=d[rr]-d[i];
		maxn=d[i]=0;
		dfs2(i,0);
		if(maxn==rd)r=i;
		if(maxn==ld){
			l=i;
			break;
		}
	}
	if(l==r){
		cout<<0<<endl;
		return 0;
	}
	int cnt=1;
	for(int i=pre[r];i!=l;i=pre[i]){
		cnt++;
	}
	cout<<cnt<<endl;
	return 0;
}

P2491 [SDOI2011] 消防

首先很容易发现，枢纽一定在树的直径上（若有多条任选一条不影响）。
我们可以先用两次 dfs 求出直径。
采用尺取法（蠕动区间），我们可以计算出在所有满足条件的最优情况下，最大值的最小值（有点绕）。

从一端开始，每次i向另一端移动一次。

我们另从这一端取一个j。

每次只要dis i j > s,我们就让 j 移动。

我们用 j 到出发点的距离和 i 到结束点的距离不断更新答案。

然后其实还有可能最远距离在直径以外的点上。

我们就对直径上每个点进行搜索。

每次标记好，不重复搜索。

最后更新答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6+10;
int d[N],l,r,maxn;
int h[N*2],to[N*2],w[N*2],ne[N],cnt;
int n,p;
int pre[N];
int col[N];
int s;
void add(int x,int y,int z){
	w[++cnt]=z;
	to[cnt]=y;
	ne[cnt]=h[x];
	h[x]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
	pre[u]=fa;
	for(int i=h[u];i;i=ne[i]){
		int wei=w[i],v=to[i];
		if(v==fa||col[v])continue;
		d[v]=d[u]+wei;
		if(d[v]>d[p])p=v;
		dfs(v,u);
	}
}
signed main(){
	cin>>n>>s;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	d[1]=1;
	dfs(1,0);
	d[p]=0;
	dfs(p,0);
	int top=p;
	int ans=1e9;
	for(int i=top,j=top;i;i=pre[i]){
		while(d[j]-d[i]>s)j=pre[j];
		ans=min(ans,max(d[i],d[top]-d[j]));
	}
	for(int i=top;i;i=pre[i])col[i]=1;
	for(int i=top;i;i=pre[i]){
		p=i;
		d[p]=0;
		dfs(i,pre[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,d[i]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}