感知器算法

感知器算法是一种线性分类器（原始形式和对偶形式）

1.首先，我们假定线性方程 wx+b=0 是一个超平面，令 g(x)=wx+b，也就是超平面上的点x都满足g(x)=0。对于超平面的一侧的点满足：g(x)>0; 同样的，对于超平面另一侧的点满足：g(x)<0.

       结论一：对于不在超平面上的点x，它到超平面的距离：

                                                                    

      证明：如下图所示，O表示原点，Xp表示超平面上的一点，X是超平面外的一点，w是超平面的法向量。

                                                                                            

         

           

         

        等式1说明：向量的基本运算法则，OX＝OXp+XpX. 因为w是法向量，所以w/||w||是垂直于超平面的单位向量。

       等式2说明：将等式1带入g(x)=wx+b；由于Xp在超平面上，所以g(Xp)=w^T*Xp+w0 = 0

       以上得证。

  

       2.下面区分一下易混淆的两个概念，梯度下降和随机梯度下降：

        梯度下降：一次将误分类集合中所有误分类点的梯度下降；----对偶形式

        随机梯度下降：随机选取一个误分类点使其梯度下降。----原始形式

 

       3.对于误分类的数据来说，当w*xi + b>0时，yi = -1,也就是，明明是正例，预测成负例。因此，误分类点到超平面的距离为：

                                                                                                                                                                   

        因此所有误分类点到超平面的总距离为:

                                                      

       忽略1/||w||,我们就可以得到感知机学习的损失函数。

       损失函数：

                                              

       这个损失函数就是感知机学习的经验风险函数。

       下面我们计算损失函数的梯度：

        

 

        值得我们注意的是，以上求和都是针对误分类集合M中的样本点进行的。对于正确分类的样本点，则不需要考虑。

        下面我们就得到了我们的更新策略：

        随机选取误分类点(xi,yi),对w,b进行更新：

        

 

        4.感知器算法的原始形式：

        输出w,b; 感知机模型f(x)=sign(w*x+b)

        (1)选取初值w0,b0

        (2)在训练集中选取数据(xi,yi)

        (3)若yi*(w*xi+b)<=0,  （该样本点被误分类了） 

                               

        (4)转至(2)，直至训练集中没有误分类点。

   

         5感知器对偶形式：

 

基本思想： 
将 w 和 b 表示为实例 xi 和标记 yi线性组合的形式，通过求解其系数而求得 w、b 。假设 w0,b0为0，对误分类点(xi,yi) 通过 

   w=w+ηyixi

b=b+ηyi

逐步修改 w,b ，设修改 n 次，则 w,b 关于(xi,yi) 的增量分别为 αiyixi 和 αiyi, 其中αi=niη ，则最后学习到的 w,b可以分别表示为

  w=∑αiyixi

b=∑αiyi

 

这里，αi≥0,=1,2,⋯N, αi=niη ,ni 的意义是样本 i 被误分的次数，所以当 η=1 时，表示第 i 个样本由于被误分而更新的次数，实例点更新次数越多，表明它距离分离超平面越近，也就越难正确分类。

伪代码：

 为了方便后期的计算，可先求出Gram（格拉姆矩阵）矩阵。

                                 

  例如，正例：x1 = (3,3)^T, x2 = (4,3)^T, 负例： x3 = (1,1)^T

  那么Gram(格拉姆矩阵)矩阵就是：

 

                                   

  因为对偶形式中会大量用到xi*xj的值，所以提前求出Gram矩阵会方便很多。