常用不等式题目解法

问题：已知${ x^{2}+y^{2}-xy=3 }$，求${ x+y }$的最大值？

解法1（万能k法）：设${ k=x+y }$，则${ x = k-y }$，可知：

$${ \left( k-y \right)^{2}+y^{2}-\left( k-y \right)y=3 }$$

化简：

$${ 3y^{2}-3ky+\left( k^{2}-3 \right)=0 }$$

这是已知条件，${ y }$必定有解。所以根据一元二次方程根判别式得：

$${ \begin{align*} \Delta=\left( -3k \right)^{2}-12\left( k^{2}-3 \right) &\geqslant 0 \\ k^{2} &\leqslant 12 \end{align*} }$$

可知：

$${ k \leqslant 2\sqrt{3} }$$

解法2（万能p法）：设${ p=x+y }$，可得：

$${ p^{2}-3xy=3 }$$

由基本不等式知${ p^{2}=\left( x+y \right)^{2} \geqslant 4xy }$，所以：

$${ \begin{align*} p^{2}-\frac{3}{4}p^{2} &\leqslant 3 \\ p^{2} &\leqslant 12 \end{align*} }$$

可知：

$${ p \leqslant 2\sqrt{3} }$$

解法3（三角换元法）：此式是椭圆方程，先把等式整理成完全平方的形式：

$${ \left( x-\frac{y}{2} \right)^{2}+\left( \frac{\sqrt{3}y}{2} \right)^{2}=3 }$$

使用三角换元有：

$${ \left\{ \begin{array}{cl} x-\frac{y}{2}=\sqrt{3}\text{sin}t \\ \frac{\sqrt{3}y}{2}=\sqrt{3}\text{cos}t \end{array} \right. }$$

解之得：

$${ \left\{ \begin{array}{cl} x=\text{cos}t+\sqrt{3}\text{sin}t \\ y=2\text{cos}t \end{array} \right. }$$

根据三角函数公式${ A\text{sin}x+B\text{cos}x = \sqrt{A^2+B^2} \cdot \text{sin}(x+\varphi) }$，其中${ \text{tan}\varphi=\frac{B}{A} }$化简可得：

$${ \begin{align*} x+y&=3\text{cos}t+\sqrt{3}\text{sin}t \\ &=2\sqrt{3} \cdot \text{sin}(t+\varphi) \end{align*} }$$

可知：

$${ x+y \leqslant 2\sqrt{3} }$$