椭圆曲线加密数学基础

椭圆加密数学基础

Rust实现

有限群

记有一个集合$S$, 及定义在$S$上的满足如下性质的二元运算$\oplus$, 则$(S,\oplus)$称为群:
- 封闭性: 对$\forall a, b\in S$, 有$a\oplus b \in S$.
- 单位元: 存在一个唯一的元素$e \in S$, 满足$\forall a \in S, e\oplus a = a\oplus e = a$, $e$称为该群的单位元;
- 结合律: $\forall a, b, c \in S$, 满足$(a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c)$;
- 逆元: $\forall a \in S$, 存在唯一的$b \in S$, 满足$a\oplus b = b\oplus a = e$;
记有一群$(S, \oplus)$:
- 若$\forall a, b\in S$, 满足$a\oplus b = b\oplus a$, 则该群称为交换群;
- 若$|S|<\infty$, 则该群称为有限群;
记有一交换群$(S, \oplus)$. 若存在一种二元运算$\odot$满足以下性质, 则称其为环:
- 封闭性: 若$\forall a,b \in S$, 满足$a \odot c \in S$;
- 分配律: 若$\forall a,b,c \in S$, 满足$a\odot (b \oplus c) = (a\odot b)\oplus (a\odot c), (a \oplus b)\odot c = (a \odot c)\oplus (b\odot c)$;
记有一个环$(S, \oplus, \odot)$, 若其满足如下性质, 则称其为域:
- 对于$\odot$运算, 存在唯一的单位元$g$, 满足$g\in S, g\ne e, \forall a, a\odot g = g\odot a = a$;
- 对于$\odot$运算存在逆元, 对于$\forall a\in S \land a \ne e$, 存在唯一的$b\in S, a\odot b = b\odot a = g$;
- 对于$\odot$运算满足交换律, 即$\forall a,b\in S, a\odot b = b\odot a$;

数论相关;

域$F_q$

记有一个正整数$q$

域$F_p$

若$q \gt e$, 则整数集合$F_p = \{0,1,2,\dots,q-1\}, p=q$是一个域, 记为素数域$F_p$, 其中:
- 定义$\oplus$运算为: $\forall a,b \in F_p, a \oplus b = (a + b) \mod p$;
- 定义$\odot$运算为: $\forall a,b \in F_p, a\odot b = (a \cdot b) \mod p$;
- $e = 0$;
- $g = 1$;

域$F_{2^m}$

若$q = 2^m$, m是素数, 则长度为$m$的位字符串集合$F_{2^m}$是一个域;

在$F_2$上的域$F_{2^m}$由度为$m$的不可约多项式$f(x)$定义, 多项式集$\{x^{m-1}, x^{m-2},\dots,x,1\}$构成了在$F_2$上的域$F_{2^m}$的基, $a\in F_{2^M}, a=(a_{m-1}a_{m-2}\dots a_1 a_0), a(x) = a_{m-1}x^{m-1} + a_{m-2}x^{m-2}+\dots + a_1 x^1 + a_0$;

$\oplus$定义为: $\forall a,b\in F_{2^m}, a\oplus b = a \veebar b$. 这里的$\veebar$表示异或, 后续在不影响理解的情况下异或也会用符号$\oplus$表示;
$\odot$定义为: $\forall a,b\in F_{2^m}, a\odot b = r, r(x)=(a(x) \cdot b(x)) / f(x)$;
$e = 0\dots 00$;
$g = 0\dots 01$;

对于约化多项式$f(x)$, 常用的由以下几种形式:

三项式: $f(x) = x^m + x^k + 1, 1\le k \le m-1$;
五项式: $f(x) = x^m + x^{k_3} + x^{k_2} + x^{k_1} + 1, \quad 1 \le k_1 \le k_2 \le k_3 \le m-1,\quad m \ge 4$;

$F_{2^m}$的高斯规范基表示

$F_2$上的域$F_{2^m}$的规范基形式为 $N=\{\alpha,\alpha^2,\alpha^{2^2},\dots,\alpha^{2^{m-1}}\}, a\in F_{2^m}, a=(a_0 a_1\dots a_{m-1})$, 对于给定的素数$m$和偶正整数$T$, 域$F_{2^m}$最多有一个类型为T的高斯规范基, 记作$F_{2^m}$的Type T型高斯规范基;

$\oplus$: $\forall a,b \in F_{2^m}, a\oplus b = a \veebar b$;
$e=0\dots 00$;
$g = 1\dots 11$;
$\odot$:
- $p = T\cdot m + 1$;
- 生成一个阶为$T$的整数$u, |<u> \mod p|=T$;
- 计算序列$F(1),F(2),\dots,F(p-1)$:
  - $w = 1$:
  - for j in 0..=(T-1):
    - $n = w$;
    - for i in 0..=(m-1):
      - $F(n) = i$;
      - $n = 2\cdot n \mod p$;
    - $w = u\cdot w\mod p$;
- $c_0 = \sum_{k=1}^{p-2}a_{F(k+1)}b_{F(p-k)} = F(a,b)$;
- $c=(c_0c_1\dots c_{m-1})=a\odot b=(a_0a_1\dots a_{m-1})\cdot (b_0b_1\dots b_{m-1})$:
  - $u=(u_0u_1\dots u_{m-1})=(a_0a_1\dots a_{m-1})$;
  - $v=(v_0v_1\dots v_{m-1})=(b_0b_1\dots b_{m-1})$;
  - for k in 0..=(m-1):
    - $c_k=F(u,v)$;
    - $u = u \lll u, v = v \lll v$, $\lll$表示循环左移;

对于给定的素数$m, T, T\mod 2 = 0$, $F_{2^m}$存在$T$型高斯规范基的存在可以通过如下算法判断:

$p = T\cdot m + 1$;
return false, if $p$不是素数;
计算$<2> \mod p$的阶$k$;
$h = T\cdot m / k$;
$d = gcd(h,m)$;
return d=1;

椭圆曲线

记有椭圆曲线$y^2=x^3+ax+b$, 无穷远点记为$\mathcal{O}$, 那么可定义如下运算:

记$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$为曲线上的两点:
- 定义$\mathcal{O}+\mathcal{O}=\mathcal{O}$;
- 若$(x_2, y_2)$为无穷远点$\mathcal{O}$, 则定义$(x_1,y_1)+\mathcal{O}=(x_1,y_1)$;
- 若$x_1\ne x_2$, 那么连接这两点的直线与曲线的交点记为$(x_3,y_3)$, 则定义加法运算有: $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_3,-y_3)$;
- 若$x_1=x_2, y_1\ne -y_2$, 那么定义逆元$(x_1,y_1)+(x_1,-y_1)=\mathcal{O}$;
- 若$(x_1, y_1), (x_2,y2)$为曲线上的同一点, 那么曲线在该点的切线与曲线的交点记为$(x_3,y_3)$, 则定义二倍运算有: $2(x_1,y_1)=(x_3,-y_3)$;

注: 下文中域元素的$+, \cdot$, 对应的是上文中相应域中定义的$\oplus, \odot$;

定义在域$F_p$的椭圆曲线

记有椭圆曲线$y^2=x^3+ax+b$, 那么由等式$y^2=x^3+ax+b\mod p, \{\forall a,b\in F_p, 4a^3+27b^2\not\equiv 0\mod p\}$所有解$(x,y), x,y\in F_p$及$\mathcal{O}$组成的集合记为$E(F_p)$, 那么$E(F_p)$在如下二元运算定义下满足是一个有限交换群:

$\mathcal{O} + \mathcal{O} = \mathcal{O}$, $\mathcal{O}$即为该群的单位元;
$(x,y)+\mathcal{O}=\mathcal{O}+(x,y), \forall (x,y) \in E(F_p)$;
$(x,y)+(x,-y)=\mathcal{O}, \forall (x,y) \in E(F_p)$, 群中元素$(x,y)$的逆$-(x,y)$即为$(x,-y)$;
$\forall (x_1, y_1) \in E(F_p), \forall (x_2,y_2) \in E(F_p), x_1\ne x_2$, 则有加法运算$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_3,y_3)$. 其中, $x_3\equiv \lambda^2-x_1-x_2\mod p, y_3\equiv \lambda(x_1-x_3)-y_1 \mod p, \lambda\equiv \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \mod p$;
$\forall (x_1,y_1)\in E(F_p), y_1\ne 0$, 有加法运算$2(x_1,y_1) = (x_1,y_1)+(x_1,y_1)=(x_3,y_3)$. 其中, $x_3\equiv\lambda^2 - 2x_1 \mod p, y_3 \equiv\lambda(x_1-x_3)-y_1\mod p, \lambda\equiv\frac{3x_1^2+a}{2y_1}\mod p$;

Hasse定理: 交换群$E(F_p)$中的点的个数满足$p+1-2\sqrt{p}\le \#(E(F_p)) \le p+1+2\sqrt{p}$;
Hasse定理: 交换群$E(F_p)$中的点的个数满足$p+1-2\sqrt{p}\le |E(F_p)| \le p+1+2\sqrt{p}$;

若$|E(F_p)| = p + 1$, 那么$E(F_p)$称为是超奇异的, 否则称为非超奇异的. ANS X9.62中规定的椭圆曲线是非超奇异的;

注: 约束条件$4a^3+27b^2\not\equiv \mod p$是群$F_p$上椭圆公式光滑的判别式, 见求解一元三次方程的求解: 卡尔丹公式;

定义在域$F_{2^m}$上的椭圆曲线

\[y^2 + xy = x^3 + ax^2 + b\ in\ F_{2^m}, \{b\ne 0, a,b \in F_{2^m}\} \]

由如上等式解的集合$(x,y),x,y\in F_{2^m}$及$\mathcal{O}$所组成的集合$E(F_{2^m})$在如下二元运算定义下满足是一个有限交换群:

$\mathcal{O} + \mathcal{O} = \mathcal{O}$, $\mathcal{O}$即为该群的单位元;
$(x,y)+\mathcal{O}=\mathcal{O}+(x,y), \forall (x,y) \in E(F_{2^m})$;
$(x,y)+(x,x+y)=\mathcal{O}, \forall (x,y) \in E(F_{2^m})$, 群中元素$(x,y)$的逆$-(x,y)$即为$(x,-y)$;
$\forall (x_1, y_1) \in E(F_{2^m}), \forall (x_2,y_2) \in E(F_{2^m}), x_1\ne x_2$, 则有加法运算$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_3,y_3)$. 其中, $x_3= \lambda^2+\lambda+x_1+x_2+a\ \in\ F_{2^m}, y_3= \lambda(x_1+x_3)+x_3+y_1\ \in\ F_{2^m}, \lambda=\frac{y_2+y_1}{x_2+x_1}\ \in\ F_{2^m}$;
$\forall (x_1,y_1)\in E(F_p), x_1\ne 0$, 有加法运算$2(x_1,y_1) = (x_1,y_1)+(x_1,y_1)=(x_3,y_3)$. 其中, $x_3=\lambda^2 + \lambda + a\ \in \ F_{2^m}, y_3 = (\lambda+1)x_3 + x_1^{2}\ \in\ F_{2^m}, \lambda=x_1+\frac{y_1}{x_1}\ \in\ F_{2^m}$;

Hasse定理: 交换群$E(F_p)$中的点的个数满足$2^m+1-2\sqrt{2^m}\le \#(E(F_{2^m})) \le 2^m+1+2\sqrt{2^m}$;

加法的几何示意图

有限域和模运算

有限域上的幂运算

记$b \in F_q, a \in N^+$, 求$x=b^a$:

$t = a \mod (q - 1)$;
$t = 0$:
- $x = 1$;
$t \ne 0$:
- $t = t_r || t_{r-1} || \dots || t_1 || t_0, t_r = 1$;
- $x = b$;
- for i in (r-1)..=0:
  - $x = x^2$;
  - $t_i = 1$:
    - $x = b\cdot x$

有限域上的逆运算

记$b \in F_q, b \ne e$, 求$b\cdot c = g, c \in F_q$, 这里$c$就称为$b$的逆$b^{-1}=c$:

$c = b^{q-2}$

Lucas序列的生成

记$P, Q$是非零整数, $P, Q$的Lucas序列定义为:

$U_0 = 0, U_1 = 1, U_k = P\cdot U_{k-1} - Q\cdot U_{k-2}, k \ge 2$;
$V_0 = 2, V_1 = P, V_k = P\cdot V_{k-1} - Q\cdot V_{k-2}, k\ge 2$;

若有限域为$F_p$, 则给定$k$, 求$U_k, V_k$的快速算法:

$\Delta = P^2 - 4\cdot Q$;
$k = k_r || k_{r-1}||\dots || k_1 ||k_0, k_r = 1$;
$U = 1, V = P$;
for i in (r-1)..0:
- $(U, V) = (U\cdot V\mod p, (V^2 + \Delta\cdot U^2)/2 \mod p)$;
- if $k_i = 1$:
  - $(U, V) = ((P\cdot U + V)/2 \mod p, (P\cdot U + \Delta\cdot U)/2 \mod p)$;
输出$(U, V)$;

素数模的平方根

记有奇素数$p$, 整数$0\le b \lt p$, 求其模的平方根$y^2 \equiv b \mod p$;

若$b = 0$, 则$y= 0$. 若$b \ne 0$, 则$b$有0个或2个模$p$的平方根(存在平方根$y$, 则另一个平方根为$p-y$).

$p \equiv 3 \mod 4$:
- $p = 4\cdot u + 3, u \in N^+$;
- $y = b^{u+1} \mod p$;
- $z = y^2 \mod p$;
- $b = z$:
  - $y$
- $b \ne z$:
  - 不存在模的平方根;
$p \equiv 5 \mod 8, p = 8\cdot u + 5, u \in N^+$:
- $\gamma = (2\cdot b)^u \mod p$;
- $i = 2\cdot g \cdot \gamma^2\mod p$;
- $y = b \cdot \gamma \cdot (i-1)\mod p$;
- $z = y^2 \mod p$;
- $b = z$:
  - $y$;
- $b \ne z$:
  - 不存在模的平方根;
$p \equiv 1 \mod 4, p = 4\cdot u + 1, u \in N^+$:
- $Q = b$;
- loop:
  - 随机生成一个整数$0\le P < p$;
  - 计算Lucas序列$U = U_{2\cdot u+1} \mod p, V = V_{2\cdot u + 1} \mod p$;
  - $V^2 \equiv 4\cdot Q \mod p$:
    - $y = V/2$ and break;
  - $U \not\equiv \pm 1 \mod p$:
    - 不存在模的平方根, break;

迹和半迹函数

记有域元素$\alpha in F_{2^m}$, 则迹定义为$Tr(\alpha) = \alpha + \alpha^2 + \alpha^{2^2} + \dots + \alpha^{2^{m-1}}$, 半迹定义为$Hf(\alpha) = \alpha^{4^0} + \alpha^{4^1} + \alpha^{4^2} + \dots + \alpha^{4^{(m-1)/2}}$. $F_{2^m}$的一半元素的迹是0, 另一半元素的迹是1;

若采用多项式基的形式表示$F_{2^m}$的元素, 则迹$Tr$和半迹$Hf$的计算如下:

$Tr = \alpha, Hf = \alpha$;
for i in 1..=(m-1):
- $Tr = Tr^2 + \alpha$;
for i in 1..=(m-1)/2:
- $Hf = Hf^2$;
- $Hf = Hf^2 + \alpha$;

$F_{2^m}$上的二次等式求解

记有$\beta \in F_{2^m}$, 求解等式$z^2 + z = \beta$, 等式的解的个数为$2-2\cdot Tr(\beta)$. 若$\beta = 0$, 则$z=0,1$. 若$\beta \ne 0$, 且存在解$z$, 则另一个解为$z+1$;

若$F_{2^m}$的元素使用规范基表示:
- $\beta = \beta_0||\beta_1||\dots || \beta_{m-1}$;
- $z_0 = 0$;
- for i in 1..=(m-1):
  - $z_i = z_{i-1}\oplus \beta_i$;
- $z = z_0 || z_1 ||\dots || z_{m-1}$;
- $\gamma = z^2 + z$;
- $\gamma = \beta$:
  - $z$;
- $\gamma \ne \beta$:
  - 不存在解;
若$F_{2^m}$的元素使用多项式基表示:
- $z = Hf(\beta)$;
- $\gamma = z^2 + z$;
- $\gamma = \beta$:
  - $z$;
- $\gamma \ne \beta$:
  - 不存在解;

验证生成子的阶的合法性

记有素数$p$, $1\lt b\lt p, k\in N^+$, 验证$k$是否是$<b> \mod p$的阶:

找出$k$的素除数集$D$;
$g^k \not\equiv 1\mod p$:
- return false;
for i in D:
- $g^{k/l} \equiv 1\mod p$:
  - return false;
return true;

生成子阶的计算

记有素数$p$, $1\lt b\lt p$, 求$<b> \mod p$的阶:

$a = b, j = 1$;
loop:
- $a = a\cdot b\mod p, j = j + 1$;
- $a \le 1$:
  - break;
输出$j$;

求指定阶数的生成子

记有素数$p$, 和可整除$p-1$的整数$T$, 求阶数为$T$的生成子$u, u\in F_p$:

loop:
- 随机生成一个整数$1 \lt b \lt p$;
- 计算$<b>\mod p$的阶$k$;
- if $k = n\cdot T, n\in N^+$:
  - break;
$u = g^{k/T} \mod p$;

有限域上的多项式

有限域上的多项式GCD求解

记有多项式$f(t), g(t)\ne 0$, 它们的系数在$F_q$中, $GCD(f(t), g(t))$求解如下:

$a(t) = f(t), b(t) = g(t)$;
while b(t) != 0:
- $c(t) = remainder(a(t)/b(t))$;
- $a(t) = b(t)$;
- $b(t) = c(t)$;
记$\alpha$为$a(t)$最高次幂的系数;
输出$\alpha^{-1}\cdot a(t)$;

计算$F_{2^m}$上的不可约多项式的根

记$f(t)$是度为$m$的不可约多项式, 则其在$F_{2^m}$上有$m$个非重根, 可按如下方法随机计算出其一个根:

$g(t) = f(t)$;
while deg(g(t)) > 1:
- 随机选择一个元素$u\in F_{2^m}$;
- $c(t) = u\cdot t$;
- for i in 1..(m-1):
  - $c(t) = (c(t)^2 + u\cdot t)\mod g(t);
- $h(t) = gcd(c(t), g(t))$;
- if !($h(t)$是常量或$deg(g) = deg(h)$):
  - if $2\cdot deg(h)\gt deg(g)$:
    - $g(t) = g(t) /h(t)$;
  - else:
    - $g(t) = h(t)$;
输出$g(0)$;

数论相关

数论相关;

Jacobi符号的计算

记有素数$p, p\gt 2$, 和整数$a, a\in Z$, 则Legendre符号$(\frac{a}{p})$定义为:

若$p$整除$a$, 则为0. 否则:
- 若$\exists x \in Z, a \equiv x^2\mod p$, 则为1;
- 若$\not\exists x \in Z, a \equiv x^2\mod p$, 则为-1;

Jacobi符号是Legendre符号的推广, 记有$a, a\in Z$, 和奇数$n, n\gt 1, n= \prod_{i=1}^t p_i^{e_i}$, $p_i$是素数, 则Jacobi符号定义为$(\frac{a}{n}) = \prod_{i=1}^t (\frac{a}{p_i})^{e_i}$. 其中, $(\frac{a}{p_i})$为Legendre符号. Jacobi符号的计算如;:

$gcd(a, n)\gt 1$:
- return 0;
$x = a, y=n, J = 1$;
loop:
- $x = x\mod y$;
- if $x \gt y/2$:
  - $x = y-x$;
  - if $y\equiv 3 \mod 4$:
    - $J = -J$;
- while x > 4 && x % 4 = 0:
  - $x = x/4$;
- if $x > 2$且$x%2 = 0$:
  - $x = x/2$;
  - if $y \equiv \pm 3\mod 8$:
    - $J = -J$;
- if $x = 1$:
  - break J;
- if $x \equiv 3\mod 4$且$y\equiv 3\mod 4$:
  - $J = -J$;
- $swap(x,y)$;

注: 若$n=q$, 则Jacobi符号$(\frac{a}{p})=a^{(p-1)/2}\mod p$;

求正整数模2的次幂的平方根

记有整数$r>2$, 和正整数$a, a < 2^r, a\equiv 1\mod 8$, 求$b^2 \equiv a \mod 2^r, b \lt 2^{r-2}$:

$h = 1$;
$b = 1$;
for j in 2..=(r-2):
- if $h_{j+1}\ne a_{j+1}$($h_{j+1}$表示$h$第$j+1$位):
  - $b_j = 1$;
  - if $j \lt r/2$:
    - $h = (h+2^{j+1}b-2^{2j}) \mod 2^r$;
  - if $j \ge r/2$:
    - $h = (h + 2^{j+1}b) \mod 2^r$;
if $b_{r-2} =1$:
- $b = 2^{r-1}-b$;

多项式的幂模

记有正整数$k, k\in N^{+}$, 多项式$f(t), m(t)$, 多项式的系数在域$F_q$中, 则$f(t)^k \mod m(t)$可计算如下:

$k = k_r || k_{r-1} || \dots || k_1 || k_0, k_r = 1$;
$u(t) = f(t) \mod m(t)$;
for i in (r-1)..=0:
- $u(t)=u(t)^2 \mod m(t)$;
- $k_i = 1$:
  - $u(t) = u(t)\cdot f(t) \mod m(t)$;
输出$u(t)$;

参考资料

Standars for Efficient Cryptography 1 (SEC1: Elliptic Curve Cryptography), Daniel R.L.Brown;
算法导论(3th), Thomas H.Cormen;
ANS x9.62;

posted @ 2020-06-18 10:37 mengsuenyan 阅读(960) 评论(0) 编辑收藏举报

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椭圆曲线加密数学基础

椭圆加密数学基础

有限群

域\(F_q\)

域\(F_p\)

域\(F_{2^m}\)

\(F_{2^m}\)的多项式基表示

\(F_{2^m}\)的高斯规范基表示