信号与线性系统

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# 信号与线性系统


$正交函数集 \longrightarrow \mathit{F} \longrightarrow \mathscr{F} \longrightarrow \mathscr{L} \longrightarrow \mathscr{z}$


## [正交函数集](#toc)

### [什么是正交函数](#toc)

记定义在区间$[t_1,t_2]$上的两个函数$\psi_1$和$\psi_2$, 若满足$\int_{t1}^{t2} \psi_1 \cdot \psi_2^{\ast}=0$, 则这两个函数是正交函数

### [什么是正交函数集](#toc)

有$n$个函数$\{\psi_1,\psi_2,\cdots,\psi_n\}$构成一个函数集, 记为$\Psi$. 当这$n$ 个函数在定义域$[t_1, t_2]$内满足如下关系, 则称$\Psi$为$[t_1,t_2]$内的正交函数集. 如果在$\Psi$之外找到函数$\phi$, 使得$\int_{t_1}^{t_2} \phi \cdot \psi_i^{\ast}=0$, 那么$\Psi$为完备正交函数集.

$$
\int_{t_1}^{t_2} \psi_i \cdot \psi_j^{\ast} =
\begin{cases}
0, when \ i \neq j \\
 k_i \neq 0, when \  i = j
\end{cases}
$$

**关于完备正交函数集的一个重要定理**

**定理**: 记有一个由$n$个函数组成的完备正交函数集$\{\psi_i\}(i=1,2,\cdots,n)$, 那么对于任一绝对可积的函数$f(t)$, 可通过这$n$个函数的线性组合来表示. 即有:

$$
f(t) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} C_i \cdot \psi_i, C_i \in \mathbb{R}
$$

假设$f(t)=C_1 \psi_1 + C_2 \psi_2 + \cdots$, 为均方误差$\epsilon^{2}=\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}(f(t) - \sum_{i=1}^{\infty} C_i \cdot \psi_i)^2 \rm dt$最小, 有:

$$
\begin{matrix}
\frac{\partial{\epsilon^2}}{\partial{C_j}} = 0 \Rightarrow \\
-2\int_{t_1}^{t_2} (f(t) - C_j \psi_j) \psi_j \rm dt= -2\int_{t_1}^{t_2}f(t) \psi_j \rm dt + 2C_j\int_{t_1}^{t_2}\psi_j^2 = 0 \Rightarrow \\
C_j = \frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\psi_j \rm dt}{\int_{t_1}^{t_2}\psi_j^2 \rm dt}
\end{matrix}
$$

另根据均方误差方程, 有: $\int_{t_1}^{t_2}f^2(t) \rm dt = \sum_{i=1}^{\infty}|\int_{t_1}^{t_2}|C_i \psi_i|^2 \rm dt$.

### [常见完备正交函数集](#toc)

- 三角函数集:

$$
\{ 1, \cos{\Omega t}, \cdots, \cos{m \Omega t}, \cdots, \sin{\Omega t}, \cdots, \sin{n \Omega t}, \cdots \}, t \in [t_0, t_0 + T], T = \frac{2 \pi}{\Omega}
$$

- 指数函数集:

$$
{e^{jn \Omega t}}, t \in {t_0, t_0 + T}, T = \frac{2 \pi}{\Omega}, n=0,\pm 1, \pm 2, \cdots
$$

- 其它的诸如Legendre多项式, Hermite多项式, Laguerrel多项式等太复杂了, 很少用到, 故不列;

## [从正交函数集到傅里叶级数$\mathit{F}$](#toc)

假设有一周期函数$f(t)$, 其周期为$T, \Omega = \frac{2\pi}{T}$, 其在$[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$绝对可积.  使用完备三角函数集对其进行正交展开, 如下:

$$
f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos{n\Omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n\Omega t}
$$

将$f(t), \psi_i$带入$C_j$, 求得系数:
$$
\begin{cases}
a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t) \cos{n\Omega t} \rm dt \\
b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t) \sin{n\Omega t} \rm dt \\
c_0 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t) \rm dt = \frac{a_0}{2}
\end{cases}
$$

以上便是傅里叶级数的三角函数形式, $a_n, b_n$称为傅里叶系数.

又可通过欧拉公式, 将三角函数形式化为指数形式, 如下:

$$
\begin{matrix}
f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}A_n \cos{(n\Omega t + \theta_n)} \Rightarrow \\
f(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{A_n}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(e^{jn\Omega t}e^{j\theta_n}+e^{-jn\Omega t}e^{-j\theta_n}) \Rightarrow \\
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}A_n e^{j\theta_n} e^{jn\Omega t}
\end{matrix}
$$

以上便是傅里叶级数的指数形式, 其中$F_n$称为傅里叶系数, 进一步化简有如下形式:

$$
\begin{aligned}
F_n& =\frac{1}{2}(A_n \cos{\theta_n} + jA_n \sin{\theta_n}) \\
& = \frac{1}{2}(a_n - jb_n) \\
& = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}(f(t)\cos{n\Omega t} - jf(t)\sin{n\Omega t}) \mathrm{dt}  \\
& = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t} \rm{dt}
\end{aligned}
$$

综上: 指数形式的傅里叶级数正逆变换整理如下:

$$
\begin{cases}
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t} \\
F_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t} \rm{dt}
\end{cases}
$$

## [从傅里叶级数到傅里叶变换$\mathit{F}\to\mathscr{F}$](#toc)

对于非周期绝对可积函数$f(t)$, 其$T\to\infty$, 故$\Omega\to 0$, 此时$F_n\to 0$, 即其频率分量处的幅度趋向于0. 此时, $f(t)$在某个时刻$t$处的值由原来的离散频率点的无穷多个有限值的$F_n$叠加, 变为连续频率点的无穷多个趋向于0的$F_n$叠加, 不利于分析理解该函数的频率特性(各频率点处幅值都趋向于0, 看不出个啥特征出来), 我们需要找到其它方法以便于我们理解$f(t)$的频率特征.
从$F_n$的公式可以看到$F_n$是$f$的一阶无穷小量, 即$\lim_{f\to\infty}\frac{F_n}{f}$是个常数, 类比物理上的密度概念, 把$\lim_{f\to\infty}\frac{F_n}{f}$记为频谱密度. 因此, 我们便找到了一种方法来来继续分析$f(t)$的频谱特征, 即一特征是频谱在各个频率点处的密集程度, 也即傅里叶变换. *吐槽: 运动是绝对的, 静止是相对的. 万物都是息息相关的, 一环扣一环的, 有时我们从某一面去认识某个远离我们生活的陌生事/物/知识感到吃力时, 也许换个角度从另一面去看就感觉比较轻松了. 也即我们常常在心中默念的"恁咋就不能换位思考下呐"!!!*

根据以上分析, 傅里叶变换推导如下:

$$
\begin{aligned}
\mathscr{F}[f(t)] &= F[j\omega] = \lim_{T\to\infty}\frac{F_n}{f}, (n=0,\pm1,\cdots覆盖所有频率点) \\
& = \lim_{T\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jn\Omega t} \rm{dt} \\
& = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} \rm{dt} \\
其中n=0,\pm1,\cdots, \lim_{t\to\infty}n\Omega = \omega, 即离散频率点变为了连续频率 \\
\\
f(t) &= \lim_{T\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_nTe^{jn\Omega t} \frac{\Omega}{2\pi} \\
& = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}\rm{d\omega}
\end{aligned}
$$

综上, $f(t)$的傅里叶变换正逆变换如下:

$$
\begin{cases}
\mathscr{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} \rm{dt} \\
f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}\rm{d\omega}
\end{cases}
$$

### [傅里叶系数和傅里叶变换的关系](#toc)

$$
\begin{aligned}
& F_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_0(t)e^{-jn\Omega t}\rm{dt} \\
& F_0(j\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_0(t)e^{-j\omega t}\rm{dt} \\
\end{aligned}
$$

根据上式比较可得, $F_n = \frac{1}{T}F_0(j\omega)|_{\omega=n\Omega}$.

## [从傅氏变换到拉氏变换$\mathscr{F}\to\mathscr{L}$](#toc)

有些函数乘以$e^{-j\omega t}$在其定义域内并不可积(如: $e^{\alpha t} \epsilon(t)$), 亦即该函数的傅里叶变换不存在, 为了解决此类问题, 引入一个指数衰减因子$e^{-\delta t}$再做傅里叶变换, 便得到了拉普拉斯变换, 过程如下:

$$
\begin{aligned}
& \mathscr{F}[f(t)e^{-\delta t}] = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-(\delta+j\omega)t}\rm{dt} \\
& f(t)e^{-\delta t} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{F}[f(t)e^{-\delta t}]e^{j\omega t} \rm{d\omega} \Rightarrow f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{F}[f(t)e^{-\delta t}]e^{(\delta + j\omega)t} \rm{d\omega}
\end{aligned}
$$

令$s=\delta + \omega$, 可得拉普拉斯变换为:

$$
\begin{aligned}
& \mathscr{L}[f(t)] = F(s) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}\rm{dt} \\
& f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{-\infty}^{\infty} F(s)e^{st}\rm{ds}
\end{aligned}
$$

## [从拉氏变换到z变换$\mathscr{L}\to\mathscr{z}$](#toc)

记有连续函数$f(t)$, 其存在拉氏变换$F(s)$, 现每隔周期为T的间隔对其采样, 表达为数学过程如下:

$$
\begin{aligned}
& f_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-nT) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)\delta(t-nT) \\
& \mathscr{L}[f_s(t)]  = \int_{-\infty}^{\infty}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)\delta(t-nT))e^{-st}\rm{dt} \\
& = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)e^{-snT}
\end{aligned}
$$

令$z=e^{sT}$, 得到$\mathscr{z}$变换为:

$$
\mathscr{f(k)} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}
$$

其中$z=e^{sT}=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}\approx\frac{1+sT/2}{1-sT/2}$, 证如下:

$$
\begin{aligned}
& \because s=\frac{1}{T}\ln{z} \\
& \therefore s = \frac{2}{T}[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}(\frac{z-1}{z+1})^3+\frac{1}{5}(\frac{z-1}{z+1})^5 + \cdots] \approx \frac{2}{T}(\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}})
\end{aligned}
$$