具体数学第三章作业解答
老师的具体数学作业要电子版了,那就把我自己的解答放在这里。
10.
⌈2x+12⌉−⌈2x+14⌉+⌊2x+14⌋=⌈2x+12⌉−(⌈2x+14⌉−⌊2x+14⌋)=⌈x+12⌉−[2x+14不是整数]
若2x+14是整数,则:
2x+1=4N(N为整数)2x=4N−1x=2N−12
- 若x≠12,则原式=⌈x+12⌉−1=⌊x⌋
- 若x=12,则原式=⌈x+12⌉=x+12=⌈x⌉
12.
⌈nm⌉=⌊n+m−1m⌋⌊n+m−1m⌋=⌊nm+1−1m⌋=⌊n−1m⌋+1
则证明:⌈nm⌉−⌊n−1m⌋=1即可
易知:0<nm−n−1m≤1(当且仅当m=1时,等式成立)
-
当m=1时,⌈n⌉−⌊n−1⌋=n−n+1=1成立
-
当m≠1时,
-
若nm为整数,则n−1m<n−1m且n−1m不为整数
则⌈nm⌉−⌊n−1m⌋=nm−⌊n−1m⌋=1
-
若n−1m为整数,则n−1m<n−1m且nm不为整数
则⌈nm⌉−⌊n−1m⌋=⌊nm⌋−n−1m=1
-
若n−1m和nm均非整数,则n mod m<1 ,(n-1) mod m<1且⌊nm⌋=⌊n−1m⌋, 则⌈nm⌉−⌊n−1m⌋=1
-
证毕
23.
设第n个元素为xn且为第m组, 则xn=m
此时:
12m(m−1)<n≤12m(m+1)m2−m<2n≤m2+mm2−m+14<2n<m2+m+14m,n均为正整数,左侧小于2n,在加上14,大小关系不改变(m−12)2<2n<(m+12)2m−12<√2n<m+12m<√2n+12<m+1则m=⌊√2n+12⌋即xn=⌊√2n+12⌋
约瑟夫环
n个人,每隔q个人去掉1人,最终剩下的人的编号?
n个人,初始编号为1, 2, ..., n
重新编号,第1个人:n+1,第2个人:n+2,直至第q个人:去掉,第q+1个人:n+q
假设当前去掉的人的编号为kq,此时去掉了k个人,接下来的人的编号为n+k(q-1)+1
也即:原来kq+d -> 现在n+k(q-1)+d
最后去掉的人编号为nq
令N=n+k(q-1)+d
上一次编号为kq+d=kq+N-n-k(q-1)=k+N-n
k=N−n−dq−1=⌊N−n−1q−1⌋
上一次编号为:
⌊N−n−1q−1⌋+N−n
令D=qn+1-N替代N
则
D=qn+1−N=qn+1−(⌊(qn+1−D)−n−1q−1⌋+qn+1−D−n)=n+D−⌊(q−1)n−Dq−1⌋=D−⌊−Dq−1⌋=D+⌈Dq−1⌉=⌈qq−1D⌉
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