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具体数学第三章作业解答

老师的具体数学作业要电子版了,那就把我自己的解答放在这里。

10.

2x+122x+14+2x+14=2x+12(2x+142x+14)=x+12[2x+14]

2x+14是整数,则:

2x+1=4N(N)2x=4N1x=2N12

  • x12,则原式=x+121=x
  • x=12,则原式=x+12=x+12=x

12.

nm=n+m1mn+m1m=nm+11m=n1m+1

则证明:nmn1m=1即可

易知:0<nmn1m1(当且仅当m=1时,等式成立)

  • 当m=1时,nn1=nn+1=1

  • m1时,

    • nm为整数,则n1m<n1mn1m

      nmn1m=nmn1m=1

    • n1m为整数,则n1m<n1mnm

      nmn1m=nmn1m=1

    • n1mnm均非整数,则n mod m<1 ,(n-1) mod m<1且nm=n1m, 则nmn1m=1

证毕

23.

设第n个元素为xn且为第m组, 则xn=m

此时:

12m(m1)<n12m(m+1)m2m<2nm2+mm2m+14<2n<m2+m+14m,n2n14(m12)2<2n<(m+12)2m12<2n<m+12m<2n+12<m+1m=2n+12xn=2n+12

约瑟夫环

n个人,每隔q个人去掉1人,最终剩下的人的编号?

n个人,初始编号为1, 2, ..., n

重新编号,第1个人:n+1,第2个人:n+2,直至第q个人:去掉,第q+1个人:n+q

假设当前去掉的人的编号为kq,此时去掉了k个人,接下来的人的编号为n+k(q-1)+1

也即:原来kq+d -> 现在n+k(q-1)+d

最后去掉的人编号为nq

令N=n+k(q-1)+d

上一次编号为kq+d=kq+N-n-k(q-1)=k+N-n

k=Nndq1=Nn1q1

上一次编号为:

Nn1q1+Nn

令D=qn+1-N替代N

D=qn+1N=qn+1((qn+1D)n1q1+qn+1Dn)=n+D(q1)nDq1=DDq1=D+Dq1=qq1D

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