概率论基础复习
排列与组合公式
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从n个不同元素中任取r个，求取法个数；
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排列要求次序，组合不讲次序；
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全排列：\(A^n_n=n!\)
选排列：\(A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)...(n-r+1)\)
组合：\(C_n^r=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{A_n^r}{r!}\)
加法原理和乘法原理
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加法原理
完成某件事情有n类途径，第一类途径有\(m_1\)种方法，第二类途径有\(m_2\)种方法，以此类推，在第n类途径有\(m_n\)种方法，则完成这件事情共有\(m_1+m_2+...+m_n\)种不同方法。
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乘法原理
完成某件事情先后分成n个步骤，做第一步有\(m_1\)种方法，第二步有\(m_2\)种方法，以此类推，第n步有\(m_n\)种方法，则完成这件事情共有\(m_1×m_2×...×m_n\)种不同的方法。
例题
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取球问题（球是可辨的）
袋中装有5只白球3只黑球，分别按下述方式抽取2只：
（1）无放回抽取；
（2）有放回抽取；
（3）一次抽取2只
设A=“所取两只均为白球”，求P(A).
答：
（1）有放回抽取
基本事件总数为\(A_8^2=8×7=56\)
A中包含的基本事件数为\(A_5^2=5×4=20\)
则\(P(A)=\frac{A_5^2}{A_8^2}=\frac{5}{14}\)
（2）有放回抽取
基本事件总数为\(8^2=64\)
A中包含的基本事件为\(5^2=25\)
则\(P(A)=\frac{5^2}{8^2}=\frac{25}{64}\)
（3）一次抽取2只
基本事件总数为\(C_8^2=28\)
A中包含的基本事件数为\(C_5^2=10\)
则\(P(A)=\frac{C_5^2}{C_8^2}=\frac{5}{14}\)
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袋中有n只球，一只红的，n-1只白的，n个人从袋中无放回地依次取出一只球。试求：第k个人取出的球是红球的概率。
答案：设A={第k个人取出的球为红球}
第1个位置放的球有n种可能，第2个位置放的球有n-1种可能，以此类推，基本事件总数为\(n!\)，
第k个人取出的球为红球，则在第k个位置上放红球，n-1个白球在其余n-1个位置上任意排列，则A包含的基本事件总数为\((n-1)!\)，则：
\[P(A)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n} \] -
质点入盒模型
将n个球随机地放入\(N(N \geq n )\)个盒子中去，设盒子容量不限，试求：
（1）指定的n个盒子中各有一球的概率；
（2）每个盒子至多有一只球的概率；
（3）n个盒子中各有一球的概率；
（4）指定的一个盒子中恰有m个球的概率
答：
将n个球放入N个盒子中，故基本事件总数为\(N×N×...×N=N^n\)
（1）指定的n个盒子中各有一个球，其基本事件数为\(n!\)，则：
\[P_1=\frac{n!}{N^n} \]（2）每个盒子中至多只有一只球，共有\(A_N^n\)种不同的方法，因此所求的概率为：
\[P_2=\frac{A_N^n}{N^n} \]（3）n个盒子可以有\(C_N^n\)种不同的选法。对选定n个盒子，每个盒子各有一个球的放法有\(n!\)种。由乘法原理，共有\(n!C_N^n\)种放法，因此所求概率为：
\[P_3=\frac{n!C_N^n}{N^n} \]（4）从n个球中任选m个球共有\(C_n^m\)种不同的方法，剩余的n-m只球落入其它盒子中共有\((N-1)^{n-m}\)种不同的方法，故：
\[P_4=\frac{C_n^m(N-1)^{n-m}}{N^n} \] -
随机取数问题
把1，2，3，4，5诸数各写在一张纸片上，任取其三排成自左向右的次序。求：
（1）所得三位数是偶数的概率；
（2）所得三位数不小于200的概率
答：
基本事件总数为\(A_5^3=5×4×3\)
（1）设A={所得三位数是偶数}，则：
\[P(A)=\frac{C_2^1A_4^2}{A_5^3}=\frac{2×4×3}{5×4×3}=\frac{2}{5} \]（2）设B={所得三位数不小于200}，则：
\[P(B)=\frac{C_4^1A_4^2}{A_5^3}=\frac{4×4×3}{5×4×3}=\frac{4}{5} \]
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加法公式
对任意两个事件A、B有：
例题
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设有一批产品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。
答：设A={任取三件至少有一件是次品}
法一：\(B_i\)={任取三件恰好有i件次品}，则：
\[\begin{split} P(A)=P(B_1\cup B_2\cup B_3)&=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)\\ &=\frac{C_5^1C_{95}^2}{C_{100}^3}+\frac{C_5^2C_{95}^1}{C_{100}^3}+\frac{C_5^3C_{95}^0}{C_{100}^3}\\ &=0.144 \end{split} \]法二：设\(\bar{A}\)表示任取三件全是正品，而：
\[P(\bar{A})=\frac{C_{95}^{3}}{C_{100}^3}\approx 0.856 \]则：
\[P(A)=1-P(\bar{A})\approx 1-0.856=0.144 \] -
袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一只，有放回地抽三次，求：
（1）颜色全同的概率；
（2）至少一只红球；
（3）取到的三个球里没有红球或没有黄球
答：基本事件总数为\(3^3\)
（1）
\[P(颜色全同)=\frac{C_3^1}{3^3}=\frac{3}{3^3}=\frac{1}{9} \]（2）
\[P(无红)=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}\\ P(至少一个红球)=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27} \]（3）
\[\begin{split} P(无红或无黄)&=P(无红+无黄)\\ &=P(无红)+P(无黄)-P(无红且无黄)\\ &=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}-\frac{1^3}{3^3}\\ &=\frac{5}{9} \end{split} \]
条件概率
实际生活中：已知某人艾滋检查为阳性，求他患艾滋的概率；在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖，求第二个人摸到一等奖的概率；人寿保险常常会考虑：已知某人已经活了x岁，求他还能再活y岁的概率。
设A、B是两个事件，且P(A)>0，称：
概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系
- 联系：事件A、B都发生了
- 区别：
- 在P(B|A)中，事件A先发生B后发生；在P(AB)中，事件A、B同时发生。
- 样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为\(\Omega\)。
例题
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袋中有10个球，其中3个黑球7个白球，依次从袋中不放回取两球。已知第一次取出的是黑球，试求：第二次取出的仍是黑球的概率。
答：设\(A_i\)={第i次取得黑球}(i=1,2)
\[P(A_1)=\frac{3}{10},\ P(A_1A_2)=\frac{3×2}{10×9}=\frac{1}{15} \]则：
\[P(A_2|A_1)=\frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}=\frac{2}{9} \] -
恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家第二个也是男孩的概率。
答：
\[P(有男孩)=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ P(有两个男孩)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\\ P(有两个男孩|有男孩)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\\ P(第一个是男孩)=\frac{1}{2}\\ P(第二个也是男孩|第一个是男孩)=P(有两个男孩|第一个是男孩)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \]
乘法公式
设P(A)>0，则有\(P(AB)=P(B|A)P(A)\)。一般地，若\(A_1,A_2,...,A_n\)是n个是事件，且\(P(A_1A_2...A_{n-1})>0\)，则由归纳法可得：
例题
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关于某产品的检验方案为：从100件中任取1件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多4次，若连续抽取4件正品，则认为这批产品合格。现假定这批产品中5%是次品，求：产品被拒收的概率。
答：设A={产品被拒收}，\(B_i\)={第i次抽得正品}，i={1,2,3,4}
则\(\bar{A}=B_1B_2B_3B_4\)
因此
\[\begin{split} P(A)=1-P(\bar{A})&=1-P(B_1B_2B_3B_4)\\ &=1-P(B_1)P(B_2|B_1)P(B_3|B_1B_2)P(B_4|B_1B_2B_3)\\ &=1-\frac{95}{100}\frac{94}{99}\frac{93}{98}\frac{92}{97}=0.188 \end{split} \] -
据以往资料，某一三口之家，患某种传染病的概率有以下特点：
P(孩子得病)=0.6, P(母亲得病|孩子得病)=0.5, P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4
求：母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
答：设A={孩子得病}，B={母亲得病}，C={父亲得病}，则：
\[P(A)=0.6,\ P(B|A)=0.5,\ P(C|AB)=0.4 \]\[\begin{split} P(AB\bar{C})&=P(\bar{C}|AB)P(B|A)P(A)\\ &=(1-0.4)×0.5×0.6\\ &=0.6×0.5×0.6\\ &=0.18 \end{split} \]
