华为OJ-素数伴侣-二分图的最大匹配-匈牙利算法

题目描述

若两个正整数的和为素数，则这两个正整数称之为“素数伴侣”，如2和5、6和13，它们能应用于通信加密。现在密码学会请你设计一个程序，从已有的N（N为偶数）个正整数中挑选出若干对组成“素数伴侣”，挑选方案多种多样，例如有4个正整数：2，5，6，13，如果将5和6分为一组中只能得到一组“素数伴侣”，而将2和5、6和13编组将得到两组“素数伴侣”，能组成“素数伴侣”最多的方案称为“最佳方案”，当然密码学会希望你寻找出“最佳方案”。

输入:

有一个正偶数N（N≤100），表示待挑选的自然数的个数。后面给出具体的数字，范围为[2,30000]。

输入描述:

输入说明
1 输入一个正偶数n
2 输入n个整数

输出:

输出一个整数K，表示你求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

输出描述:

求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

示例1

输入

4
2 5 6 13

输出

2

求解思路

• 考虑素数伴侣的可能情况。若为两个偶数或奇数，两者和必然为偶数，不可能为素数，故唯一的组合是一个偶数和一个奇数的情况。
• 根据数字的类型，可以将其分为奇数和偶数两个集合，一个素数伴侣可以看做： 从奇数和偶数集合中各取出一个，连上一条边。从而该问题转化为二分图的最大匹配问题。

编程关键点

• 素性测试：判断一个数是否为素数

  • 采用素数筛法。建立数组primes，首先将除2外的偶数标记为false，之后对奇数进行判断， 判断终止条件为\(\sqrt N\)；为了避免重复判断，已知\(p\)为素数，下次的判断从\(p^2\)开始，将所有\(p\)的倍数置为false，由于\(p^2\)为奇数，奇数与偶数相乘为偶数， 为避免对偶数的重复判断，\(p\)的倍数取值为：\(p^2 + 2ip,i=1,2,3...\)；
  • 素数筛法求素数这篇文章对该方法进行了详细的介绍，值得一读；
  • 代码如下：

    vector<int> primes(60001, 1);
    
    // generate prime numbers
    void prime_library() {
        primes[0] = primes[1] = 0;
        for (int i = 4; i < primes.size(); i += 2) {
            primes[i] = 0;
        }
        for (int i = 3; i * i < primes.size(); i += 2) {
            if (primes[i]) {
                for (int j = i * i; j < primes.size(); j += 2 * i)
                    primes[j] = 0;
            }
        }
    }
    

• 二分图的最大匹配问题：匈牙利算法

  • 算法的详细介绍可参考这篇文章二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法, 我自己的理解是：
    • 数据被分为两个集合：偶数和奇数。最开始所有的点都为未匹配点;
    • 从未匹配点出发，采用深度优先搜索，判断是否能找到一个与之匹配的点；
    • 在DFS中，如果遇到了已经匹配的点，那么要从该匹配点向下继续寻找，直到所有的点都匹配过。
  • 程序完整代码如下：

    bool dfs(vector<int>& match, vector<int> & check, vector<int> &array, const unsigned x) {
        for (int i = 0; i < array.size(); ++i) {
            if (array[i] % 2 == 1 && primes[array[i] + array[x]] == 1 && check[i] == 0){
                check[i] = 1;
                if(match[i] == -1 || dfs(match, check, array, match[i])){
                    match[i] = x;
                    match[x] = i;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    int main() {
        int N;
        prime_library();
        while (cin >> N) {
            vector<int> array(N, 0);
            for (int i = 0; i < N; ++i) {
                cin >> array[i];
            }
            int count{0};
            vector<int> match(N,-1);
            for (int i = 0; i < array.size(); ++i) {
                //二分图左侧
                if(array[i]%2 == 0){
                    vector<int> check(N,0);
                    check[i] = 1;
                    if(dfs(match, check, array, i))
                        ++count;
                }
            }
            cout << count<<endl;
        }
        return 0;
    }
    

  • 备注：
  1. match被初始化为-1，它储存的是素数伴侣的配对情况，如match[u] = v表示u和v为一堆素数伴侣；
  2. check的初始化放在了内层循环，意味着每从偶数集合内取一个点，就要与奇数集合内所有的点做素数伴侣判断，此时match数组是保留了之前的记录信息的。